Wykaz ze dla \(\displaystyle{ n \geqslant 6}\) prawdziwa jest nierownosc:
\(\displaystyle{ n! < \left(\frac{n}{2}\right)^n}\)
Udowodnij podana nierownosc
Udowodnij podana nierownosc
Ostatnio zmieniony 18 paź 2008, o 08:41 przez ehrid, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Udowodnij podana nierownosc
n=6 jest prawdda
zał \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}_+\wedge m\geqslant 6}\) :
\(\displaystyle{ m!<\left(\frac{m}{2}\right)^m}\)
zatem
\(\displaystyle{ (m+1)!=m!(m+1)<\left(\frac{m}{2}\right)^m(m+1)=}\)
\(\displaystyle{ =\left(\frac{m+1}{2}\frac{m}{m+1}\right)^m\cdot \left(\frac{m+1}{2}\right)\cdot 2=}\)
\(\displaystyle{ =\left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}\frac{2}{(1+\frac{1}{m})^m}\leqslant \left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}}\)
zał \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}_+\wedge m\geqslant 6}\) :
\(\displaystyle{ m!<\left(\frac{m}{2}\right)^m}\)
zatem
\(\displaystyle{ (m+1)!=m!(m+1)<\left(\frac{m}{2}\right)^m(m+1)=}\)
\(\displaystyle{ =\left(\frac{m+1}{2}\frac{m}{m+1}\right)^m\cdot \left(\frac{m+1}{2}\right)\cdot 2=}\)
\(\displaystyle{ =\left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}\frac{2}{(1+\frac{1}{m})^m}\leqslant \left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}}\)