Macierz 4x4 i rozwinięcie Laplace'a

[wziks]

Cześć wszystkim, mam pewien problem. Otóż mam obliczyć wyznacznik dowolnej, wymyślonej przez siebie macierzy 4 stopnia (maks. jedno 0 i jedna 1) i nie za bardzo wiem jak się do tego zabrać. Jedyny sposób jaki znalazłem to rozwiniecie Laplace'a , ale nie wiem jak z niego korzystać. Jedyne co zrozumiałem to że można dodawać do siebie kolumny i wiersze macierzy co nie zmienia wartości wyznacznika. Należy także doprowadzić do jak największej ilości 0. Ale nie pojmuje skąd biorą się później wartości przed macierzą. Z góry dzięki za każdą odpowiedź

[veldrim]

To zrobię Ci to zadanie od początku i postaram tobie wytłumaczyć, co i jak. Najpierw weźmy dowolną macierz kwadratową 4x4. Jeszcze jedno chciałbym zaznaczyć, że w szkole nigdy nie miałem macierzy i chodże do pierwszej LO, ale z tym zadaniem chyba sobie poradzę. Więc zacznijmy najpierw od dowolnej macierzy. Aby szybko uzyskać zera najlepiej aby liczby się powtarzały. No to niech nasza macierz wygląda tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&5&7&9\\4&1&2&2\\8&3&0&4\\7&6&2&5\end{array}\right]}\)

Teraz łatwo zauważyć, że jeżeli od trzeciego wiersza odejmiemy drugi wiersz pomnożony przez dwa to otrzymujemy: 8-8=0 3-2=1 0-4=-4 4-4=0. Więc uzyskaliśmy dwa zera. Teraz zapiszmy ponownie naszą macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&5&7&9\\4&1&2&2\\0&1&-4&0\\7&6&2&5\end{array}\right]}\)

Widzisz teraz ten wiersz gdzie są dwa zera. Musimy się go pozbyć wtedy uzyskamy macierz 3x3. To jest właśnie to, co sprawia Ci chyba problem czyli te wyciągnięcie liczby przed macierz.

No to weźmy najpierw liczbę 1. Zauważ, że jest ona w 3 wierszu i drugiej kolumnie.
Widziałeś jak koło liczby wyciągniętej z macierzy było mnożenie przez (-1) do potęgi jakiejś tam? Ta potęga jakaś tam to współrzedna położenia danej liczby w macierzy. Tak jak gra w statki. Wiem, że to nie jest fachowe słownictwo, ale ja tak to sobie wyobrażam.

Wróćmy jednak do naszej 1. Przed macierzą wygląda to następująco:

\(\displaystyle{ 1*(-1) ^{3+2}}\)

Ta potęga 3+2 oznacza tyle, że jest ona w trzecim wierszu i 2 kolumnie. Suma 3+2=5, a minus jeden do potęgi pięć to minus jeden. Więc ten iloczyn wynosi ostatecznie minus jeden. Tak samo robisz z liczbą -4. Czyl wszystko wygląda tak:

\(\displaystyle{ -1 ft[\begin{array}{ccc}3&7&9\\4&2&2\\7&2&5\end{array}\right] -4 ft[\begin{array}{ccc}3&5&9\\4&1&2\\7&6&5\end{array}\right] =78-408=-330}\)

Sprawdź proszę czy nie pomyliłem się przy wyznacznikach macierzy 3x3, mam nadzieję, że wiesz jak liczy się w takich macierzach, jak nie to zajrzyj do Krysickiego w rozdziale 9 jest to fajnie wytłumaczone. Wybacz mi, ale pisałem ten post w pośpiechu, mam jednak nadzieję, że nie ma w nim błędów.

Pozdrawiam!

[dudii]

moze ktoś wytłumaczyć skad wzięla sie macierz

-1ft [3 7 9;4 2 2;7 2 5] ??

[lofi]

Teraz łatwo zauważyć, że jeżeli od trzeciego wiersza odejmiemy drugi wiersz pomnożony przez dwa

a dlaczego pomnożony przed dwa? można sobie mnożyć przez dowolne liczby?

[bobyrake]

Przeglądam ten temat bo akurat powtarzam sobie rozwinięcie Laplace'a i nie skończony jest temat to jeśłi ktoś kiedyś tu wejdzie wyjaśniam, że macierz o którą pyta dudii wzieła się z wykreślenia przy obliczeniach 2 kolumny i 3 wiersza - tej kolumny i wiersza na przecięciu którego leży poprzedzająca macierz 1

2+3 (numery kolumny i wiersza) = 5 stąd 1 zmieniła nam się na -1 \(\displaystyle{ \rightarrow 1*(-1) ^{2+3} =-1\(\displaystyle{

Analogicznie zrobiono z -4 (wykreślono 3 wiersz i 3 kolumne na przecięciu której leży -4) a potem wymnozono -4 przez \(\displaystyle{ -1 _{3+3} = -4}\)

Mam nadzieję, że komuś to kiedyś pomoże }\)}\)

[AsiR]

Widzisz teraz ten wiersz gdzie są dwa zera. Musimy się go pozbyć wtedy uzyskamy macierz 3x3. To jest właśnie to, co sprawia Ci chyba problem czyli te wyciągnięcie liczby przed macierz.

No to weźmy najpierw liczbę 1. Zauważ, że jest ona w 3 wierszu i drugiej kolumnie.
Widziałeś jak koło liczby wyciągniętej z macierzy było mnożenie przez (-1) do potęgi jakiejś tam? Ta potęga jakaś tam to współrzędną położenia danej liczby w macierzy. Tak jak gra w statki. Wiem, że to nie jest fachowe słownictwo, ale ja tak to sobie wyobrażam.

Czy ktoś mógłby podać wzór z którego korzystał w tym miejscu veldrim?

Wróćmy jednak do naszej 1. Przed macierzą wygląda to następująco:

\(\displaystyle{ 1*(-1) ^{3+2}}\)

Ta potęga 3+2 oznacza tyle, że jest ona w trzecim wierszu i 2 kolumnie. Suma 3+2=5, a minus jeden do potęgi pięć to minus jeden. Więc ten iloczyn wynosi ostatecznie minus jeden. Tak samo robisz z liczbą -4. Czyl wszystko wygląda tak:

\(\displaystyle{ -1 \cdot \left[\begin{array}{ccc}3&7&9\\4&2&2\\7&2&5\end{array}\right] -4 \cdot \left[\begin{array}{ccc}3&5&9\\4&1&2\\7&6&5\end{array}\right] =78-408=-330}\)

Sprawdź proszę czy nie pomyliłem się przy wyznacznikach macierzy 3x3, mam nadzieję, że wiesz jak liczy się w takich macierzach, jak nie to zajrzyj do Krysickiego w rozdziale 9 jest to fajnie wytłumaczone. Wybacz mi, ale pisałem ten post w pośpiechu, mam jednak nadzieję, że nie ma w nim błędów.

Pozdrawiam!

Nadal nie rozumiem tego przejścia z tej dużej macierzy do tej mniejszej w sensie wiem czemu się wykreśla odpowiednie wiersze i kolumny ale nie wiem jak to podstawić do wzoru na rozwinięcie Laplace'a. W swojej książce mam coś o dopełnieniu algebraicznym ale to wcale nie pomaga.

[niespo]

te dwie mniejsze macierze wzięły się stąd że pisząc \(\displaystyle{ (-1) ^{3+2}}\) to skreślasz trzeci wiersz i 2 kolumnę, jak wykreślisz sobie ten wiersz i tą kolumnę to reszta liczb która zostaje przepisujesz i tak powstaje mniejsza macierz. Jeszcze jedna sprawa liczba którą piszesz przed wyrażeniem [\(\displaystyle{ (-1)}\) do potęgi wiersz+kolumna] to liczba, która stoi na przecięciu wiersza i kolumny którą wykreślasz, a więc powróćmy do zapisu:
z Duzej macierzy, która ma w trzecim wierszu wg kolejności \(\displaystyle{ {0 1 -4 0}}\) powstaje
\(\displaystyle{ =1 \cdot (-1) ^{3+2} \ \mbox{macierz} \ + (-4) \cdot (-1) ^{3+3}}\) macierz powstała ze skreślenia 3 wiersza i 3 kolumny \(\displaystyle{ = 1 \cdot -1 \ \mbox{macierz} \ + (-4) \cdot 1 \ \mbox{macierz} \= -1 \ \mbox{macierz} \ -4 \ \mbox{macierz}}\) .
Kolega pominął jak gdyby macierze które powstaną przy skreśleniu 1 kolumny i 3 wiersza oraz 4 kolumny i 3 wiersza, ponieważ po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ 0}\) wynik będzie \(\displaystyle{ 0}\) tychże macierzy, stąd brane są pod uwagę jedynie te które mają liczbę różną od \(\displaystyle{ 0}\) czyli \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -4}\).
Z góry przepraszam za niewstawienie macierzy, ale jako że to mój pierwszy post nie miałam pewności czy poprawnie użyje kodów, a nie chciałam namieszać.