wektory - dowód
-
LySy007
- Użytkownik
- Posty: 386
- Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z fotela
- Podziękował: 107 razy
- Pomógł: 3 razy
wektory - dowód
Wykazać, że na to aby wektory \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} (n>1)}\) były liniowo zależne potrzeba i wystarcza, aby jeden z nich był kombinacją liniową pozostałych.
-
robertm19
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
wektory - dowód
Wykaże najpierw że jeśli wektory są lin. zależne to jeden z nich jest kombinacja reszty.
Weźmy że \(\displaystyle{ \alpha_{n}}\) jest rózne od zera.
Wówczas mamy \(\displaystyle{ \alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+...+\alpha_{n}x_{n}=0}\)
Następnie przenieśmy \(\displaystyle{ \alpha_{n}x_{n}}\) na drugą stronę i podzielmy przez \(\displaystyle{ -\alpha_{n}}\) otrzymujemy tezę.
W drugą stronę mamy że : \(\displaystyle{ x_{n}=\alpha_{1}x_{1}+...+\alpha_{n-1}x_{n-1}}\)
Znowu przenosimy wszystko na jedno stronę i korzystając z definicji l.zależności widzimy że istnieją takie \(\displaystyle{ \alpha_{1},...,\alpha_{n}}\)że \(\displaystyle{ \alpha_{1}^2+...+\alpha_{n}^2>0}\) i \(\displaystyle{ \alpha_{1}x_{1}+...+\alpha_{n}x_{n}=0}\),
istnieją ponieważ \(\displaystyle{ \alpha_{n}=-1}\).
Weźmy że \(\displaystyle{ \alpha_{n}}\) jest rózne od zera.
Wówczas mamy \(\displaystyle{ \alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+...+\alpha_{n}x_{n}=0}\)
Następnie przenieśmy \(\displaystyle{ \alpha_{n}x_{n}}\) na drugą stronę i podzielmy przez \(\displaystyle{ -\alpha_{n}}\) otrzymujemy tezę.
W drugą stronę mamy że : \(\displaystyle{ x_{n}=\alpha_{1}x_{1}+...+\alpha_{n-1}x_{n-1}}\)
Znowu przenosimy wszystko na jedno stronę i korzystając z definicji l.zależności widzimy że istnieją takie \(\displaystyle{ \alpha_{1},...,\alpha_{n}}\)że \(\displaystyle{ \alpha_{1}^2+...+\alpha_{n}^2>0}\) i \(\displaystyle{ \alpha_{1}x_{1}+...+\alpha_{n}x_{n}=0}\),
istnieją ponieważ \(\displaystyle{ \alpha_{n}=-1}\).