bardzo proszę.
udowodnić że macierz symetryczna A^n jest macierzą symetryczą.
udowodnić że macierz symetryczna A^n jest macierzą symetr
-
googl
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 28 lis 2005, o 19:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska...
- Podziękował: 2 razy
udowodnić że macierz symetryczna A^n jest macierzą symetr
Zakładam, że chodzi o "udowodnić, że jeżeli A jest macierzą symetryczną to \(\displaystyle{ A^{n}}\) jest macierzą symetryczną".
Jeżeli \(\displaystyle{ n=0}\) lub \(\displaystyle{ n=1}\) to mamy łatwo - \(\displaystyle{ A^{0}}\) jest macierzą jednostkową, jeżeli \(\displaystyle{ n=1}\) banalne.
Musimy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ (A B)^{T}}\) = \(\displaystyle{ B^{T} A^{T}}\). Podobnie \(\displaystyle{ (A B C)^{T}}\) = \(\displaystyle{ C^{T} B^{T} A^{T}}\), ogólnie dla \(\displaystyle{ n}\) czynników trzeba wszystko odwrócić.
zatem \(\displaystyle{ (A^{n})^{T}}\) = \(\displaystyle{ (A^{T})^{n}}\) dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\). A tam możemy zamienić \(\displaystyle{ A^{T}=A}\).
Łatwo udowodnić także dla \(\displaystyle{ n}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ n=0}\) lub \(\displaystyle{ n=1}\) to mamy łatwo - \(\displaystyle{ A^{0}}\) jest macierzą jednostkową, jeżeli \(\displaystyle{ n=1}\) banalne.
Musimy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ (A B)^{T}}\) = \(\displaystyle{ B^{T} A^{T}}\). Podobnie \(\displaystyle{ (A B C)^{T}}\) = \(\displaystyle{ C^{T} B^{T} A^{T}}\), ogólnie dla \(\displaystyle{ n}\) czynników trzeba wszystko odwrócić.
zatem \(\displaystyle{ (A^{n})^{T}}\) = \(\displaystyle{ (A^{T})^{n}}\) dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\). A tam możemy zamienić \(\displaystyle{ A^{T}=A}\).
Łatwo udowodnić także dla \(\displaystyle{ n}\)