wektor jako kombinacja liniowa wektorów

LySy007 · Post autor: **LySy007** » 4 paź 2008, o 17:40

Niech \(\displaystyle{ x, y, z, w}\) \(\displaystyle{ \in R^{3}}\). Przedstawić wektor \(\displaystyle{ w}\) jako kombinację liniową wekitorów \(\displaystyle{ x, y, z}\). Czy przedstawienie takie jest zawsze możliwe? Czy przedstawienie takie jest zawsze jednoznaczne?

a) \(\displaystyle{ w=(4, 10, -2)}\), \(\displaystyle{ x=(2, 5, -1)}\), \(\displaystyle{ y=(1, 2, 1)}\), \(\displaystyle{ z=(-1, -3, 2)}\)
b) \(\displaystyle{ w=(0, 0, 0)}\), \(\displaystyle{ x=(1, 2, 1)}\), \(\displaystyle{ y=(2, 0, -2)}\), \(\displaystyle{ z=(3, 2, 2)}\)

Jeżeli przykład b z wektorem zerowym robi się analogicznie do przykładu a, to wystarczy mi pomoc w jednym z nich. Wtedy z drugim na pewno sobie już poradzę.

natkoza · Post autor: **natkoza** » 4 paź 2008, o 17:52

\(\displaystyle{ w=ax+by+cz\Rightarrow [4,10,-2]=a[2,5,-1]+b[1,2,1]+c[-1,-3,2]\Rightarrow [4,10,-2]=[2a+b-c,5a+2b-3c,-a+b+2c]\Rightarrow \begin{cases} 2a+b-c=4\\5a+2b-3c=10\\-a+b+2c=-2\end{cases}}\)
rozwiązujesz ten układ i masz szukane współczynniki
b) identycznie tylko ostatecznie masz do rozwiązania układ jednorodny
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b+3c=0\\2a+2c=0\\a-2b+2c=0\end{cases}}\)
przedstawienie to jest jednoznaczne

LySy007 · Post autor: **LySy007** » 4 paź 2008, o 19:02

"Czy przedstawienie takie jest zawsze możliwe? Czy przedstawienie takie jest zawsze jednoznaczne?"

O co tak dokładnie chodzi w tej części polecenia?

Kiedy takie przedstawienie nie będzie możliwe? Wtedy gdy układ nie będzie miał rozwiązań?

O co chodzi z tym czy przedstawienie jest zawsze jednoznaczne? Kiedy nie będzie jednoznaczne? Wtedy gdy układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań?

lukas_7 · Post autor: **lukas_7** » 7 paź 2008, o 22:12

LySy007 pisze:"Czy przedstawienie takie jest zawsze możliwe? Czy przedstawienie takie jest zawsze jednoznaczne?"

O co tak dokładnie chodzi w tej części polecenia?

Kiedy takie przedstawienie nie będzie możliwe? Wtedy gdy układ nie będzie miał rozwiązań?

O co chodzi z tym czy przedstawienie jest zawsze jednoznaczne? Kiedy nie będzie jednoznaczne? Wtedy gdy układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań?

Poprosiłbym o wyjaśnienie tych kwestii.