Rozwiązać układ w zależności od parametru a

[bedbet]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y=a+2\\(a+1)x+3ay=3a+6\\3x-y=5 \end{array}\right.}\)

[Qń]

Odejmijmy trzy razy pierwsze równanie od drugiego:
\(\displaystyle{ (a-2)x+3(a-2)y=0 (a-2)(x+3y)=0}\)
Stąd albo \(\displaystyle{ a=2}\) i wtedy łatwo sprawdzić, że rozwiązanie to \(\displaystyle{ x=2, y=1}\), albo też \(\displaystyle{ x=-3y}\) i wtedy z ostatniego równania \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}}\), a wtedy z pierwszego \(\displaystyle{ a=\frac{3}{2}}\).

Ostatecznie więc:
- dla \(\displaystyle{ a=2}\) rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (2,1)}\)
- dla \(\displaystyle{ a=\frac{3}{2}}\) rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)}\)
- dla pozostałych \(\displaystyle{ a}\) układ jest sprzeczny.

Uwaga: nie jest to jedyny sposób rozwiązania, można też na przykład z pierwszego i trzeciego równania wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\), wstawić do drugiego równania i stąd (z równania kwadratowego) policzyć możliwe wartości \(\displaystyle{ a}\).

Q.

[bedbet]

Dzięki. Zauważyłem, że można też z tw. Kroneckera-Capellego to rozwiązać. Wychodzi dosyć mechanicznie bez liniowych przekształceń wierszy.