Udowodnij że system wektórów \(\displaystyle{ a _{1} ,a _{2} , ... ,a _{m}}\) jest liniowo zależny jeśli wiadomo że zawiera 2 proporcjonalne wektory \(\displaystyle{ a _{2} =7a _{1}}\)
Oczywiście wydaje się to oczywiste bo jeśli jeden wektor jest 7 razy większy od drugiego to żaden z nich nie jest wektorem zerowym... Ale czy to jest dowód? Proszę podpowiedzieć o co może chodzić z dowodem. Napiszcie jak byście na to odpowiedzieli.
Udowodnij że wektory są liniowo zależne.
-
Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Udowodnij że wektory są liniowo zależne.
Zbiór wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka kombinacja współczynników \(\displaystyle{ t_1, t_2, ..., t_n}\) taka, że
\(\displaystyle{ t_1a_1 + ... + t_na_n = 0}\) i co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ t_i}\) jest różna od zera.
Jeżeli wskażemy taką kombinację, to znaczy że zbiór wektorów jest liniowo zależny. Jakie współczynniki \(\displaystyle{ t_i}\) wybrać w naszym przypadku, aby udowodnić liniową zależność?
Wystarczy, że wybierzemy: \(\displaystyle{ t_1 = 7, t_2 = -1}\), oraz \(\displaystyle{ t_i = 0}\) dla i > 2.
Wtedy: \(\displaystyle{ t_1a_1 + t_2a_2 + t_3a_3 + ... + t_na_n = t_1a_1 + t_2a_2 = 7a_1 - a_2 = 7a_1 - 7a_1 = 0}\), oraz \(\displaystyle{ t_1}\) jest różne od 0, co kończy dowód
\(\displaystyle{ t_1a_1 + ... + t_na_n = 0}\) i co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ t_i}\) jest różna od zera.
Jeżeli wskażemy taką kombinację, to znaczy że zbiór wektorów jest liniowo zależny. Jakie współczynniki \(\displaystyle{ t_i}\) wybrać w naszym przypadku, aby udowodnić liniową zależność?
Wystarczy, że wybierzemy: \(\displaystyle{ t_1 = 7, t_2 = -1}\), oraz \(\displaystyle{ t_i = 0}\) dla i > 2.
Wtedy: \(\displaystyle{ t_1a_1 + t_2a_2 + t_3a_3 + ... + t_na_n = t_1a_1 + t_2a_2 = 7a_1 - a_2 = 7a_1 - 7a_1 = 0}\), oraz \(\displaystyle{ t_1}\) jest różne od 0, co kończy dowód