Baza dualna do danej

[RotakesMan]

Witam, nie mogę sobie poradzić z wyznaczaniem bazy dualnej do danej. Czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązując krok po kroku przykładowe zadanie?:

W przestrzeni: \(\displaystyle{ (R^{3},R,+,*)}\) dana jest baza: \(\displaystyle{ (1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,-1)}\) Wyznacz bazę dualną. Z góry dziękuję za pomoc!

[robertm19]

bazą dualną są formy liniowe \(\displaystyle{ e^*_{i}}\) gdzie i=1,2,....,n .
Zatem zapiszmy wektor (x,y,z)=a(1,1,1)+b(1,1,-1)+c(1,-1,-1).
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a+b+c=x\\a+b-c=y\\a-b-c=z \end{array}}\)
Otrzymujesz taki układ i roziązujesz . Dalej korzystając z \(\displaystyle{ e^*_{i}}\)
otrzymasz szukaną bazę.

[RotakesMan]

Otrzymałem takie formy: \(\displaystyle{ = \frac{x}{2}+\frac{z}{2}\\ = \frac{y}{2}-\frac{z}{2}\\ = \frac{x}{2}-\frac{y}{2}}\) Zachodzi dla nich: \(\displaystyle{ =\delta_{ij}}\) Nie mam wyniku do tego zadania, czy jest to zatem szukana baza? Proszę o odpowiedź... z góry dziękuje!

[robertm19]

Wynik poprawny. Te formy są bazą dualną.

[kunkanwan]

bazą dualną są formy liniowe \(\displaystyle{ e^*_{i}}\) gdzie i=1,2,....,n .
Zatem zapiszmy wektor (x,y,z)=a(1,1,1)+b(1,1,-1)+c(1,-1,-1).
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a+b+c=x\\a+b-c=y\\a-b-c=z \end{array}}\)
Otrzymujesz taki układ i roziązujesz . Dalej korzystając z \(\displaystyle{ e^*_{i}}\)
otrzymasz szukaną bazę.

Czy ktoś może pokazać czemu to działa ?

a,b,c to współrzędne wektora (x,y,z) w naszej bazie. Czemu nagle a,b,c staja sie formami ?
Takie zadania rozwiązywałem zawsze za pomocą wyliczania kolejnych równań z delty Kronecker'a ,
takie coś znacznie upraszcza obliczenia ale nie wiem czemu i jak działa.

Z góry dziękuje za pomoc