Witam, nie potrafię wyliczyć wyznacznika z takiej macierzy
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\-1&-1&1\\3&1&1\\4&3&3\end{array}\right|}\)
gdyby była to macierz kwadratowa nie byłoby problemu... proszę o podpowiedź... wiersze macierzy stanowią liczby stojące przy niewiadomych w 4-wierszowym układzie równań...
Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 23 wrz 2008, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 23 wrz 2008, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3
no ja potrafię wykonywać jakieś operacje na macierzach ale z tym sobie nie poradzę..... podajcie mi jakieś wskazówki.. da się z tego zrobić macierz kwadratową?;>
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 23 wrz 2008, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3
a może nie trzeba liczyć wyznacznika?... bo to jest układ 4 równań z 3 niewiadomymi... wyniki są w 1,2i3 wierszu a w 4 jest parametr k.... trzeba rozwiązać ten układ właśnie w zależności od tego parametru.... heh może całkiem zły sposób obieram....
zaraz utworzę ten układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+3y+z=5\\-x-y+z=1\\3x+y+z=3\\4x+3y+3z=k \end{array}\right.}\)
zaraz utworzę ten układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+3y+z=5\\-x-y+z=1\\3x+y+z=3\\4x+3y+3z=k \end{array}\right.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3
No to rzeczywiscie zle sie zabierasz za ten przyklad
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
-1&-1& 1& 1\\
2& 3& 1& 5\\
3& 1& 1& 3\\
4& 3& 3& k
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
2& 3& 1& 5\\
3& 1& 1& 3\\
4& 3& 3& k
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0&-2& 4& 6\\
0&-1& 7& k+4
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
0& 0&10& k+11
\end{array}\right]}\)
Teraz widzimy, ze uklad przedstawia sie nastepujaco:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y-z=-1\\
y+3z=7\\
10z=20\\
10z=k+11
\end{cases}}\)
Z ostatnich dwoch wierszy zauwazamy, ze uklad bedzie sprzeczny, jesli:
\(\displaystyle{ 20\neq k+11\\
k\neq 9\\}\)
Teraz pozostaje tylko sprawdzic jak wyglada rozwiazanie dla k=9, wiec:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
0& 0&10& 20
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1& 0& 1\\
0& 1& 0& 1\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 0& 0& 0\\
0& 1& 0& 1\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]}\)
Czyli dla k=9 mamy jedno rozwiazanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=0\\ y=1\\ z=2\end{cases}}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
-1&-1& 1& 1\\
2& 3& 1& 5\\
3& 1& 1& 3\\
4& 3& 3& k
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
2& 3& 1& 5\\
3& 1& 1& 3\\
4& 3& 3& k
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0&-2& 4& 6\\
0&-1& 7& k+4
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
0& 0&10& k+11
\end{array}\right]}\)
Teraz widzimy, ze uklad przedstawia sie nastepujaco:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y-z=-1\\
y+3z=7\\
10z=20\\
10z=k+11
\end{cases}}\)
Z ostatnich dwoch wierszy zauwazamy, ze uklad bedzie sprzeczny, jesli:
\(\displaystyle{ 20\neq k+11\\
k\neq 9\\}\)
Teraz pozostaje tylko sprawdzic jak wyglada rozwiazanie dla k=9, wiec:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
0& 0&10& 20
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1& 0& 1\\
0& 1& 0& 1\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 0& 0& 0\\
0& 1& 0& 1\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]}\)
Czyli dla k=9 mamy jedno rozwiazanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=0\\ y=1\\ z=2\end{cases}}\)
Pozdrawiam.