Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
krzy5iek88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 23 wrz 2008, o 17:53
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3

Post autor: krzy5iek88 »

Witam, nie potrafię wyliczyć wyznacznika z takiej macierzy

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\-1&-1&1\\3&1&1\\4&3&3\end{array}\right|}\)

gdyby była to macierz kwadratowa nie byłoby problemu... proszę o podpowiedź... wiersze macierzy stanowią liczby stojące przy niewiadomych w 4-wierszowym układzie równań...
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3

Post autor: Szemek »

a ja myślałem, że wyznaczniki dotyczą tylko macierzy kwadratowych...
krzy5iek88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 23 wrz 2008, o 17:53
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3

Post autor: krzy5iek88 »

no ja potrafię wykonywać jakieś operacje na macierzach ale z tym sobie nie poradzę..... podajcie mi jakieś wskazówki.. da się z tego zrobić macierz kwadratową?;>
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3

Post autor: miki999 »

A może to chodzi o rząd macierzy, bo wyznacznika raczej się nie da obliczyć.
krzy5iek88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 23 wrz 2008, o 17:53
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3

Post autor: krzy5iek88 »

a może nie trzeba liczyć wyznacznika?... bo to jest układ 4 równań z 3 niewiadomymi... wyniki są w 1,2i3 wierszu a w 4 jest parametr k.... trzeba rozwiązać ten układ właśnie w zależności od tego parametru.... heh może całkiem zły sposób obieram....
zaraz utworzę ten układ

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+3y+z=5\\-x-y+z=1\\3x+y+z=3\\4x+3y+3z=k \end{array}\right.}\)
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Wyznacznik macierzy prostokątnej 4x3

Post autor: soku11 »

No to rzeczywiscie zle sie zabierasz za ten przyklad
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
-1&-1& 1& 1\\
2& 3& 1& 5\\
3& 1& 1& 3\\
4& 3& 3& k
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
2& 3& 1& 5\\
3& 1& 1& 3\\
4& 3& 3& k
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0&-2& 4& 6\\
0&-1& 7& k+4
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
0& 0&10& k+11
\end{array}\right]}\)


Teraz widzimy, ze uklad przedstawia sie nastepujaco:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y-z=-1\\
y+3z=7\\
10z=20\\
10z=k+11
\end{cases}}\)


Z ostatnich dwoch wierszy zauwazamy, ze uklad bedzie sprzeczny, jesli:
\(\displaystyle{ 20\neq k+11\\
k\neq 9\\}\)


Teraz pozostaje tylko sprawdzic jak wyglada rozwiazanie dla k=9, wiec:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
0& 0&10& 20
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0&10&20\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1&-1&-1\\
0& 1& 3& 7\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 1& 0& 1\\
0& 1& 0& 1\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]\;\rightarrow\;\\
\left[\begin{array}{ccc|c}
1& 0& 0& 0\\
0& 1& 0& 1\\
0& 0& 1& 2\\
\end{array}\right]}\)


Czyli dla k=9 mamy jedno rozwiazanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=0\\ y=1\\ z=2\end{cases}}\)


Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ