Wektory w przestrzeni euklidesowej.

[gamebird]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie dowolną przestrzenią euklidesową, a \(\displaystyle{ W}\) jej podprzestrzenią. Udowodnij, że każdy wektor przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) jest sumą pewnego wektora z \(\displaystyle{ W}\) i pewnego z dopełnienia ortogonalnego \(\displaystyle{ W}\).

[max]

Niech \(\displaystyle{ e_{1}, \ldots, e_{k}}\) będzie bazą ortonormalną \(\displaystyle{ W}\). Możemy dopełnić ją do bazy \(\displaystyle{ V}\) i zastosować ortonormalizację Grama-Schmidta otrzymując bazę ortonormalną \(\displaystyle{ e_{1},\ldots,e_{k}, v_{1},\ldots, v_{l}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Zatem każdy wektor z \(\displaystyle{ V}\) można przedstawić jako kombinację liniową tych wektorów, a ponieważ kombinacja liniowa \(\displaystyle{ e_{1},\ldots e_{k}}\) należy do \(\displaystyle{ W}\), a kombinacja liniowa \(\displaystyle{ v_{1},\ldots,v_{l}}\) do dopełnienia ortogonalnego podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\), to wykazaliśmy co trzeba.