Rząd przekształcenia liniowego.

[gamebird]

Witam,

mam takie oto zadanie którego nie umiem rozwiązać:
Pokaż, że dla dowolnego przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L: R^n R^n}\) takiego, że \(\displaystyle{ L^2 = 0}\) rząd \(\displaystyle{ L}\) nie przekracza \(\displaystyle{ n/2}\).

[max]

Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ L^{2} = 0}\) mamy \(\displaystyle{ \mbox{im\,} L \ker L}\), a ponieważ \(\displaystyle{ n = \mbox{rz\,} L + \mbox{dim\,} \ker L}\), to musi być \(\displaystyle{ \mbox{rz\,} L = n - \mbox{dim\,} \ker L qslant n - \mbox{rz\,} L}\). Stąd \(\displaystyle{ \mbox{rz\,} L\leqslant \frac{n}{2}}\).