Witam, mam problem z następującym zadaniem. Mamy sobie coś takiego:
\(\displaystyle{ V=\{w R_{2} [x] : w(-1) qslant 0 \}}\)
\(\displaystyle{ W=\{w R_{2} [x] : w(x+1)+w(-x)=0 \}}\)
W poleceniu jest wyznaczyć wymiar \(\displaystyle{ W}\), a następnie wymiar \(\displaystyle{ V \cap W}\).
Myślałem o takim rozwiązaniu: jeśli chodzi o pierwszą część zadania, to ponieważ jest to wielomian stopnia co najwyżej stopnia drugiego, to ma on postać:
\(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c}\)
Po podstawieniu, dochodzę do momentu, gdy wychodzi mi takie równianie:
\(\displaystyle{ 2ax^2+2ax+a+b+2c=0}\)
I dalej nie wiem co trzeba zrobić. Jeśli dobrze kombinuję, to byłbym bardzo wdzięczny za dokończenie zadania i ewentualne wytłumaczenie co i jak trzeba zrobić .
jaki jest wymiar
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
jaki jest wymiar
Równość którą otrzymałeś to równość wielomianów, wynika więc z niej, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=0 \\
b+2c = 0\end{cases}}\)
czyli wielomiany z przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) to wielomiany postaci \(\displaystyle{ -2cx+c=c(-2x+1)}\). Tak więc \(\displaystyle{ W= lin \{ -2x+1 \}}\) czyli ta przestrzeń ma wymiar jeden. Natomiast \(\displaystyle{ W \cap V}\) to wielomiany postaci \(\displaystyle{ c(-2x+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ c q 0}\) - nie jest to jednak przestrzeń liniowa, więc nie możemy mówić o wymiarze.
Q.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=0 \\
b+2c = 0\end{cases}}\)
czyli wielomiany z przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) to wielomiany postaci \(\displaystyle{ -2cx+c=c(-2x+1)}\). Tak więc \(\displaystyle{ W= lin \{ -2x+1 \}}\) czyli ta przestrzeń ma wymiar jeden. Natomiast \(\displaystyle{ W \cap V}\) to wielomiany postaci \(\displaystyle{ c(-2x+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ c q 0}\) - nie jest to jednak przestrzeń liniowa, więc nie możemy mówić o wymiarze.
Q.