Witam, prosiłbym o podanie rozwiązania poniższego zadania - najlepiej krok po kroku, bym wiedział jak postępować w innych przypadkach.
Współrzędne wektorów \(\displaystyle{ x+1, x-1, x^{2}}\) w pewnej bazie \(\displaystyle{ R[x]_{2}}\) wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ (1,20), (0,1,2), (1,0,-3)}\). Znaleźć bazę.
Ja wektory potraktowałem jako trzy trójki współczynników. Ponieważ są one już przedstawione w pewnej bazie \(\displaystyle{ B=(X_{1},X_{2},X_{3})}\), zapisuję to odpowiednio:
\(\displaystyle{ (0,1,1) = X_{1}+2X_{2}
(0,1,-1) = X_{2}+2X_{3}
(1,0,0) = X_{1}-3X_{3}}\)
W tym miejscu tworzę dwie macierze. Macierz A tworzą współrzędne w bazie, a macierz B - trójki współczynników. Rzecz w tym, że nie wiem jak poprawnie zapisać te macierze, czy systemem - jedna trójka=jedna kolumna, czy wierszami. W tym miejscu prosiłbym o wyjaśnienie. Dalej otrzymuję równanie macierzowe \(\displaystyle{ AX=B}\), którego rozwiązanie da mi szukaną bazę. Obliczam je jako \(\displaystyle{ EX=A^{-1}B}\), gdzie E jest macierzą jednostkową.
Z braku poprawnego rozwiązania, które można łatwo i szybko sprawdzić podstawiając do chociażby jednego równania, wnioskuję, że albo metoda postępowania jest nieadekwatna do problemu, albo - problem leży w konstruowaniu macierzy/kolejności mnożenia w rozwiązaniu (jestem jednak przekonany o poprawności \(\displaystyle{ A^{-1}B}\)).
Z góry dziękuję za pomoc.