Napisac macierz przekształcenia w nowej bazie - sprawdzenie

[veeroo]

Witam
Policzyłem takie zadanko, jednak nie mam pewności, czy dobrze. Proszę jakąś mądrą głowę o sprawdzenie czy dobrze.

Zad. Napisać macierz przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ L(x,y,z)=(y, -x, z)}\)
w bazie
\(\displaystyle{ {(1,1,1),(2,3,3),(1,2,3)}}\).

Oto moje wypociny:
\(\displaystyle{ v_{1} =(1,1,1);
v_{2}=(2,3,3);
v_{3}=(1,2,3);}\)
Dla bazy standardowej \(\displaystyle{ {e_{1},e_{2},e_{e}}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) mamy:
\(\displaystyle{ e_{1} = 3v_{1} - v_{2};
e_{2} = -3v_{1} + 2v_{2} - v_{3};
e_{3} = v_{1} - v_{2} + v_{3};}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ L(1,1,1) = (1,-1,1) = e_{1} - e_{2} + e_{3} = 3v_{1} - v_{2} - (-3v_{1} + 2v_{2} - v_{3}) + v_{1} - v_{2} + v_{3} = 7v_{1} - 4v_{2} + 2v_{3};

L(2,3,3) = (3,-2,3) = 3e_{1} - 2e_{2} + 3e_{3} = 3(3v_{1} - v_{2}) - 2(-3v_{1} + 2v_{2} - v_{3}) + 3(v_{1} - v_{2} + v_{3}) = 18v_{1} -10v_{2} + 5v_{3};

L(1,2,3) = (2,-1,3) = 2e_{1} -e_{2} + 3e_{3} = 2(3v_{1} - v_{2}) -(-3v_{1} + 2v_{2} - v_{3}) +3(v_{1} - v_{2} + v_{3}) = 12v_{1} - 7v_{2} + 4v_{3};}\)
Zatem macierz przekształcenia wynosi:
\(\displaystyle{ A _{L}=\left[\begin{array}{ccc}7&18&12\\-4&-10&-7\\2&5&4\end{array}\right]}\)

Dobrze?