Jądro i obraz przekształcenia liniowego

[gawi]

Wyznaczyć jądro i obraz przekształcenia liniowego przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\) w \(\displaystyle{ R^3}\) danego wzorem: \(\displaystyle{ \phi((x,y,z,t))=(x+y,y+z-t,x-z+t)}\).

Wiem że trzeba rozwiązać układ równań tak by to przekształcenie dawało zawsze zero, jednak rozwiązuje to eliminacją Gaussa i wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi.
tak jest poprawnie: \(\displaystyle{ Ker\phi=Lin((1,-1,0,-1),(0,0,1,1))}\)
a mi wychodzi tak: \(\displaystyle{ Ker\phi=Lin((1,-1,1,0),(-1,1,0,1))}\)

[Qń]

tak jest poprawnie: \(\displaystyle{ Ker\phi=Lin((1,-1,0,-1),(0,0,1,1))}\)
a mi wychodzi tak: \(\displaystyle{ Ker\phi=Lin((1,-1,1,0),(-1,1,0,1))}\)

To jest dokładnie to samo.

Q.