Kilka zadań...

[sajko]

1. Wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})\}\in R^{4}: x_{1}+x_{2}-x_{3}=0}\), jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R^{4}}\). Wyznacz wymiar tej podprzestrzeni.

2. Niech \(\displaystyle{ f: V \to W}\) bedzie przekształceniem liniowym. Wykaż że \(\displaystyle{ f}\) przekształca wektory liniowo zależne \(\displaystyle{ V_{1}, ... , V_{n}}\) w wektory liniowo zależne.

3. Wyznacz rzut ortogeniczny wektora \(\displaystyle{ u=(1,1,1)\in R^{3}}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W=lin\{ (5,1,3), (1,2,-1)\}}\)

4. Wykorzystując twierdzienie Kroneckera-Capelliego rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-z+v=1\\2x-2z+v=3\\-x+2y+z=-2\end{cases}}\)

Takich zadań mam 3 kartki :/ Prosze przedstawcie mi sposób rozwiązania, a z pozostałymi mam nadzieje że sobie już poradze.
Dziekuje i pozdrawiam.

[kuch2r]

Na poczatek:
Ad.1
Rozwazmy, rownanie:
\(\displaystyle{ x_1+x_2-x_3+0\cdot x_4=0}\)
Mamy jedno rownanie z czteroma niewiadomymi.
Niech:
\(\displaystyle{ x_2=p\\x_3=q\\x_4=r}\) , gdzie \(\displaystyle{ p,q,r \mathbb{R}}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ x_1=x_3-x_2=p-q}\)
Stad, rozwiazaniem wyjsciowego ukladu rownan jest czworka w postaci:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(p-q,p,q,r)=(p,p,0,0)+(-q,0,q,0)+(0,0,0,r)=\\=p(1,1,0,0)+q(-1,0,1,0)+r(0,0,0,1)}\)
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) bedzie baza podprzestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\), wowczas:
\(\displaystyle{ \mathcal{B}=\{ (1,1,0,0),(-1,0,1,0),(0,0,0,1)\}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ \dim{\mathcal{B}}=3}\)

[sajko]

Niech:
\(\displaystyle{ x_2=p\\x_3=q\\x_4=r}\) , gdzie \(\displaystyle{ p,q,r \mathbb{R}}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ x_1=x_3-x_2=p-q}\)

Malutki bład, powinno być \(\displaystyle{ q-p}\) Ale i tak wielkie dzieki za rozwiązanie. Jakiś pomysł na pozostałe?

[kuch2r]

sorry, ale mam nadzieje ze regula postepowania jest zrozumiania.
Jesli moglbys to uzupelnij tresc zadania nr.2. Mianowicie jest w nim mowa o przeksztalcenie liniowym \(\displaystyle{ f}\), wypadaloby uzupelnic tresc o:
\(\displaystyle{ f:V \to ??}\) ??

[sajko]

Spoko, wszystko zrozumiałem. Poprawiłem 2.
Pozdrawiam.