Mam problem z takim układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x+by-4z=0\\-x+y+z=0\\3x-3y+bz=0\end{cases}}\)
Trzeba go rozwiązać w zależności od parametru b, a przy liczeniu wyznaczników posłużyć się twierdzeniem Laplace'a.
Chciałbym się dowiedzieć co po kolei musze zrobić, żeby wyliczyć to poprawnie z tym parametrem :/ ???
Układ równań z parametrem b
Układ równań z parametrem b
Skoro masz skorzystać z twierdzenia Laplace'a musisz rozwiązać ten układ metodą wyznacznikową. Najpierw obliczasz wyznacznik główny macierzy, czyli zaczynasz od tego:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}4&b&-4\\-1&1&1\\3&-3&b\end{array}\right|}\)
Do drugiej i trzeciej kolumny wyznacznika dodajesz kolumnę pierwszą otrzymując:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}4&b+4&0\\-1&0&0\\3&0&b+3\end{array}\right|}\)
Potem rozwijasz wyznacznik wokół trzeciej kolumny korzystając z rozwinięcia Laplace'a i masz:
\(\displaystyle{ b+3}\) \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}4&b+4\\1&0\end{array}\right|}\)
Czyli wyznacznik głowny jest równy \(\displaystyle{ -(b+3)(b+4)}\)
Wyznaczniki poszczególnych zmiennych są równe zero wiec dla \(\displaystyle{ -(b+3)(b+4)=0}\) istnieje nieskonczenie wiele rozwiązań a w pozostałych przypadkach istnieje tylko jedno rozwiązanie gdzie zmienne x,y,z są równe zeru.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}4&b&-4\\-1&1&1\\3&-3&b\end{array}\right|}\)
Do drugiej i trzeciej kolumny wyznacznika dodajesz kolumnę pierwszą otrzymując:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}4&b+4&0\\-1&0&0\\3&0&b+3\end{array}\right|}\)
Potem rozwijasz wyznacznik wokół trzeciej kolumny korzystając z rozwinięcia Laplace'a i masz:
\(\displaystyle{ b+3}\) \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}4&b+4\\1&0\end{array}\right|}\)
Czyli wyznacznik głowny jest równy \(\displaystyle{ -(b+3)(b+4)}\)
Wyznaczniki poszczególnych zmiennych są równe zero wiec dla \(\displaystyle{ -(b+3)(b+4)=0}\) istnieje nieskonczenie wiele rozwiązań a w pozostałych przypadkach istnieje tylko jedno rozwiązanie gdzie zmienne x,y,z są równe zeru.