Wykaż że...

[arazahiel]

W trójkącie ABC dane są \(\displaystyle{ \vec{AB}}\)=\(\displaystyle{ \vec{c}}\), \(\displaystyle{ \vec{BC}}\)=\(\displaystyle{ \vec{a}}\), \(\displaystyle{ \vec{CA}}\)=\(\displaystyle{ \vec{b}}\)

a) Wyznacz w zależności od \(\displaystyle{ \vec{a}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}}\), \(\displaystyle{ \vec{c}}\) wektory
\(\displaystyle{ \vec{AM}}\), \(\displaystyle{ \vec{BN}}\), \(\displaystyle{ \vec{CP}}\), gdzie M, N, P są odpowiednio środkami boków BC, AC, AB
To wyznaczyłem:
\(\displaystyle{ \vec{AM}}\)=\(\displaystyle{ \vec{c}}\)+ \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ \vec{a}}\)
\(\displaystyle{ \vec{BN}}\)=\(\displaystyle{ \vec{a}}\)+ \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ \vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CP}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)+\(\displaystyle{ \vec{b}}\)

b) (tu tkwi problem)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \vec{AM}}\)+\(\displaystyle{ \vec{BN}}\)+\(\displaystyle{ \vec{CP}}\)=0

Za pomoc dziękuje...

[wb]

b)
\(\displaystyle{ \vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}=\vec{c}+\frac{1}{2} \vec{a}+\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2} \vec{c} +\vec{b}= \frac{3}{2} \vec{a}+ \frac{3}{2} \vec{b}+ \frac{3}{2} \vec{c}= \\ = \frac{3}{2}( \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c})= \frac{3}{2}( -\vec{c}- \vec{b} +\vec{b}+ \vec{c})=0}\)

[arazahiel]

\(\displaystyle{ = \frac{3}{2}( -\vec{c}- \vec{b} +\vec{b}+ \vec{c})=0}\)

Nie rozumie tylko skąd to się wzięło, proszę o wytłumaczenie...

[wb]

Z rysunku zauważ, że
\(\displaystyle{ \vec{a}=- \vec{c}- \vec{b}}\)

[arazahiel]

Mam jeszcze jedna prośbę czy mógł/mogła byś załączyć rysunek wykonany na paincie, ponieważ nie za bardzo wiem czemu a=-c-b układ strzałek wektorów? Myślałem ze tylko równoległe wektory mogą być ujemne względem siebie...

[wb]

Z punktu B do C można również przejść nie bezpośrednio lecz przez punkt A. Zatem
\(\displaystyle{ \vec{a}= \vec{BC}= \vec{BA}+ \vec{AC}}\)

Ponieważ jeśli \(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{c}}\) to \(\displaystyle{ \vec{BA} = -\vec{c}}\) oraz
jeśli \(\displaystyle{ \vec{CA} = \vec{b}}\) to \(\displaystyle{ \vec{AC} = -\vec{b}}\), i wstawiając do pierwszego równania otrzymasz to o co pytasz.