Dla jakich\(\displaystyle{ b R ^{3}}\) równanie A(x)=b ma rozwiązanie?
\(\displaystyle{ A(x _{1},x _{2},x _{3})=(x _{1}+x _{3}, x _{1}+x _{2}+x _{3},-x _{1}+x _{2}-x _{3})}\)
Jak sie do tego zabrac? i jak skonczyc ?
Dla jakich b A(x)=b ma rozwiązanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Dla jakich b A(x)=b ma rozwiązanie?
Niech \(\displaystyle{ b=(b_1,b_2,b_3)}\).
Wówczas A(x)=b oznacza, że
\(\displaystyle{ b_1=x_1+x_3\\b_2=x_1+x_2+x_3\\b_3=-x_1+x_2-x_3}\)
Zauważmy, że wówczas \(\displaystyle{ b_3+2b_1=b_2}\)
Zatem jeśli A(x)=b ma rozwiązanie, to musi być \(\displaystyle{ b_3+2b_1=b_2}\).
Na odwrót. Jeśli \(\displaystyle{ b_3+2b_1=b_2}\), to A(x)=b ma rozwiązanie:
można wziąć na przykład \(\displaystyle{ x=(b_1,b_2-b_1,0)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ A(x)=(b_1+0,b_1+b_2-b_1+0,-b_1+b_2-b_1-0)=(b_1,b_2,-2b_1+b_2)=(b_1,b_2,b_3)=b}\)
(Nie jest to jedyne rozwiązanie. jest ich nieskończenie wiele; na przykład \(\displaystyle{ x=(0,b_2-b_1,b_1)}\) też jest dobre.)
Wówczas A(x)=b oznacza, że
\(\displaystyle{ b_1=x_1+x_3\\b_2=x_1+x_2+x_3\\b_3=-x_1+x_2-x_3}\)
Zauważmy, że wówczas \(\displaystyle{ b_3+2b_1=b_2}\)
Zatem jeśli A(x)=b ma rozwiązanie, to musi być \(\displaystyle{ b_3+2b_1=b_2}\).
Na odwrót. Jeśli \(\displaystyle{ b_3+2b_1=b_2}\), to A(x)=b ma rozwiązanie:
można wziąć na przykład \(\displaystyle{ x=(b_1,b_2-b_1,0)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ A(x)=(b_1+0,b_1+b_2-b_1+0,-b_1+b_2-b_1-0)=(b_1,b_2,-2b_1+b_2)=(b_1,b_2,b_3)=b}\)
(Nie jest to jedyne rozwiązanie. jest ich nieskończenie wiele; na przykład \(\displaystyle{ x=(0,b_2-b_1,b_1)}\) też jest dobre.)
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Dla jakich b A(x)=b ma rozwiązanie?
Stówrzmy macierz tego odwzorowania w bazachh kanonicznych.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&1&1\\-1&1&-1\end{array}\right]}\)
i zapiszmy równanie macierzowo:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&1&1\\-1&1&-1\end{array}\right]}\)*\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x1\\x2\\x3\end{array}\right]}\)= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}b1\\b2\\b3\end{array}\right]}\).
Wyznacznik macierzy odwzorowania jest równy 0 zatem sprowadźmy macierz uzupełnioną :
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&b1\\1&1&1&b2\\-1&1&-1&b3\end{array}\right]}\)
do postaci schodkowej. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&b1\\0&1&0&b2-b1\\0&0&0&2b1-b2+b3\end{array}\right]}\). Zostatniego wiersza otrzymujemy warunek że 2b1-b2+b3=0.
Podstawmy pod b1 i b3 parametry. b1=t b3=s b2=2t-s
Niech V będzie przestrzenią tych b spełniających równanie wówczas
V={(b1,b2,b3)=(t,2t-s,s)=t(1,2,0)+s(0,0,1)}
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&1&1\\-1&1&-1\end{array}\right]}\)
i zapiszmy równanie macierzowo:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&1&1\\-1&1&-1\end{array}\right]}\)*\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x1\\x2\\x3\end{array}\right]}\)= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}b1\\b2\\b3\end{array}\right]}\).
Wyznacznik macierzy odwzorowania jest równy 0 zatem sprowadźmy macierz uzupełnioną :
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&b1\\1&1&1&b2\\-1&1&-1&b3\end{array}\right]}\)
do postaci schodkowej. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&b1\\0&1&0&b2-b1\\0&0&0&2b1-b2+b3\end{array}\right]}\). Zostatniego wiersza otrzymujemy warunek że 2b1-b2+b3=0.
Podstawmy pod b1 i b3 parametry. b1=t b3=s b2=2t-s
Niech V będzie przestrzenią tych b spełniających równanie wówczas
V={(b1,b2,b3)=(t,2t-s,s)=t(1,2,0)+s(0,0,1)}