Z macierzowego równania wyznaczyć macierz X

[kristoof]

Witam. Mam problem z takim zadaniem z egzaminu z matematyki II w SGH.

Dane są macierze A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\-1&0&0\\0&0&2\end{array}\right]}\) oraz C= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&3&0\\1&0&2\end{array}\right]}\)
a) Z macierzowego równania \(\displaystyle{ (XC)^{T}}\)\(\displaystyle{ = CA-I}\) wyznaczyć macierz X
b) Obliczyć \(\displaystyle{ detX}\)
c) Obliczyć \(\displaystyle{ det(2(\(\displaystyle{ A^{-1}}\)))\(\displaystyle{ + det(\(\displaystyle{ C^{2}}\))}\)}\)

[Vigl]

a). Skorzystaj z faktu, że: \(\displaystyle{ (XC)^{T}=C^{T}X^{T}}\)Za \(\displaystyle{ X^{T}}\) przyjmiemy taką macierz 3x3 (tylko taka spełni warunki, czyt. da się przemnożyć przez \(\displaystyle{ C^{T}}\)): \(\displaystyle{ X^{T}=\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]}\)
Teraz to wszystko można przemnożyć jak każe zadanie, w wyniku czego dostajesz układ dziewięciu równań liniowych. Najlepiej znowu będzie się posłużyć macierzami i za pomocą metody Gaussa znaleźć rozwiązanie, czyli poszczególne współrzędne \(\displaystyle{ X^{T}}\). Wtedy robisz transpozycje i po sprawie.
b). Jak już znajdziesz \(\displaystyle{ X}\), to znalezienie wyznacznika macierzy 3x3 dużym kłopotem nie będzie.
c). Jak wyżej; mając \(\displaystyle{ X}\) pozbywasz się problemu.

[natkoza]

Witam. Mam problem z takim zadaniem z egzaminu z matematyki II w SGH.

Dane są macierze A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\-1&0&0\\0&0&2\end{array}\right]}\) oraz C= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&3&0\\1&0&2\end{array}\right]}\)
a) Z macierzowego równania \(\displaystyle{ (XC)^{T}}\)\(\displaystyle{ = CA-I}\) wyznaczyć macierz X
b) Obliczyć \(\displaystyle{ detX}\)
c) Obliczyć \(\displaystyle{ det(2(A^{-1}))+ det(C^{2})}\)

Można też tak:
a)
\(\displaystyle{ CA-I=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&3&0\\1&0&2\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{ccc}1&1&1\\-1&0&0\\0&0&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&1&3\\-4&-1&-1\\1&1&5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&3\\-4&-2&-1\\1&1&4\end{array}\right]\\
C^T= ft[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&3&0\\1&0&2\end{array}\right]}\)
zatem mamy równanie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&3&0\\1&0&2\end{array}\right]X^T=\left[\begin{array}{ccc}1&1&3\\-4&-2&-1\\1&1&4\end{array}\right]\\
X^T=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&3&0\\1&0&2\end{array}\right]^{-1}\cdot ft[\begin{array}{ccc}1&1&3\\-4&-2&-1\\1&1&4\end{array}\right]\\
X^T=\left[\begin{array}{ccc}6&2&-3\\2&1&-1\\-3&-1&2\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{ccc}1&1&3\\-4&-2&-1\\1&1&4\end{array}\right]\\
X^T=\left[\begin{array}{ccc}-5&-1&4\\-3&-1&1\\3&1&0\end{array}\right]\\
X=\left[\begin{array}{ccc}-5&-3&3\\-1&-1&1\\4&1&0\end{array}\right]}\)
b)
\(\displaystyle{ detX=2}\)
c)
\(\displaystyle{ det(2A^{-1})+det(C^2)=2detA^{-1}+detC\cdot det C=2(detA)^{-1}+detC\cdot detC=2^3\cdot (2)^{-1}+1\cdot 1=8\cdot \frac{1}{2}+1=5}\)

[kristoof]

Wielkie dzięki za pomoc 2 sposob okazal sie bardzo prosty tylko trzeba to bylo zauwazyc

[ Dodano: 7 Września 2008, 20:43 ]
zatem mamy równanie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&3&0\\1&0&2\end{array}\right]X^T=\left[\begin{array}{ccc}1&1&3\\-4&-2&-1\\1&1&4\end{array}\right]\\
X^T=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&3&0\\1&0&2\end{array}\right]^{-1}\cdot ft[\begin{array}{ccc}1&1&3\\-4&-2&-1\\1&1&4\end{array}\right]\\
X^T=\left[\begin{array}{ccc}6&2&-3\\2&1&-1\\-3&-1&2\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{ccc}1&1&3\\-4&-2&-1\\1&1&4\end{array}\right]\\
X^T=\left[\begin{array}{ccc}-5&-1&4\\-3&-1&1\\3&1&0\end{array}\right]\\
X=\left[\begin{array}{ccc}-5&-3&3\\-1&-1&1\\4&1&0\end{array}\right]}\)

ale mam jeden problem bo zrobilem tym sposobem ale pomnozylem macierze na odwrot i wyszedl mi zupelnie inny wynik a jak wiemy mnozenie macierzy nie jest przemienne wiec jaka powinna byc prawidlowa kolejnosc??

[natkoza]

hmm jezeli mamy równanie postaci \(\displaystyle{ AX=Y}\) to mnożymy je lewostronnie przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\)

[kristoof]

Czyli w tym przypadku powinno byc tak jak ja zrobilem?? Czy tak jak Ty??

[ Dodano: 7 Września 2008, 21:50 ]
A mam jeszcze to zadanie z 2 grupy.

Dane są macierze A i B(takie same jak wyzej)
a) Z macierzowego równania \(\displaystyle{ (BX)^{-1}=A-B^{-1}}\) wyznaczyć macierz X
b) Obliczyć \(\displaystyle{ detX}\)
c) Obliczyć \(\displaystyle{ det(2(A^{-1}))+det(C^{2})}\)
Poprosze tylko o pomoc w wyznaczeniu X bo punkt b i c umiem.

Zrobilem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \frac{1}{BX}=\frac{A-B^{-1}}{1}}\)
\(\displaystyle{ BX(A-B^{-1})=1}\)
\(\displaystyle{ X=\frac{1}{B(A-B^{-1})}=[B(A-B^{-1})]^{-1}}\)
Czy to jest dobre rozwiazanie??

[natkoza]

Czyli w tym przypadku powinno byc tak jak ja zrobilem?? Czy tak jak Ty??

wychodzi na to, że tak jak ja zrobiłam sprawdzone i wychodzi tak jak powinno

[kristoof]

hmm jezeli mamy równanie postaci \(\displaystyle{ AX=Y}\) to mnożymy je lewostronnie przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\)

Acha bo ja zle zrozumialem. A to jest takie prawo ze sie mnozy lewostronnie?? Ale dzieki wielkie za pomoc, byc moze ratujesz mi zycie