2 zadanka z wektorów

[qku]

1.Znaleźć wektor\(\displaystyle{ \vec{m}}\) leżący w płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy}\) , prostopadły
do wektora\(\displaystyle{ \vec{a}= [5,-3,4]}\) i majacy długosc równa długosci wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\)

2.Znależć wektor \(\displaystyle{ \vec{x}}\) o długości \(\displaystyle{ \left| \sqrt{2} \right|}\)wiedząc że jest on prostopadły do wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}}\)

Bee wdzięczny z każdą pomoc

[dr_grucha]

1. Ponieważ wektor ma leżeć w płaszczyźnie \(\displaystyle{ O_{xy}}\) więc \(\displaystyle{ \vec{m}=(x,y,0)}\). Aby był prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) to
\(\displaystyle{ (\vec{m}|\vec{a})=0}\) (iloczyn skalarny)
\(\displaystyle{ 5x-3y=0}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{3}{5}y}\)


A żeby miał długość równą długości \(\displaystyle{ \vec{a}}\) musi zachodzić
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}= \sqrt{5^{2}+3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25+9+16} =5 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(\frac{3}{5}y)^{2}+y^{2}}= \frac{y}{5} \sqrt{9+25}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{5} \sqrt{34}=5 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{25\sqrt{2}}{\sqrt{34}} = \frac{25 \sqrt{17} }{17}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{15 \sqrt{17} }{17}}\)

\(\displaystyle{ \vec{m}=(\frac{15 \sqrt{17} }{17},\frac{25 \sqrt{17} }{17},0)}\)

[qku]

Dzięki wielki. Masz może pomysł na 2 zadanie?

[dr_grucha]

Jeżeli \(\displaystyle{ \vec{i}}\), \(\displaystyle{ \vec{j}}\), \(\displaystyle{ \vec{k}}\) są wektorami jednostkowymi, to wektor prostopadły do wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}}\) będzie miał wzór:



\(\displaystyle{ \vec{x}=c(\vec{a} \vec{b})=c\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&1\\2&-1&2\end{array}\right|=c(4\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}-4\vec{k}-2\vec{j}+\vec{i})=c(5\vec{i}-5\vec{k})}\)

\(\displaystyle{ \left|\vec{x} \right| =c \sqrt{5^{2}+5^{2}} =5c \sqrt{2}= \sqrt{2}}\), stąd \(\displaystyle{ c= \frac{1}{5}}\), czyli:

\(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{i}-\vec{k}}\)

[qku]

Czyli wektor będzie wyglądał jak?

\(\displaystyle{ \vec{x}=[1,0,1]}\)

[dr_grucha]

Raczej tak: \(\displaystyle{ \vec{x}= ft[1,0,-1 \right]}\)

[qku]

Dlaczego a nie może być
\(\displaystyle{ \vec{x}=[-1,0,1]}\)? Mógłbyś to jakoś rozpisać?

[dr_grucha]

Faktycznie popełniłem błąd w

\(\displaystyle{ \left|\vec{x} \right| =c \sqrt{5^{2}+5^{2}} =5c \sqrt{2}= \sqrt{2}}\) , stąd \(\displaystyle{ c= \frac{1}{5}}\)

Powinno być:

\(\displaystyle{ \left|\vec{x} \right| =|c| \sqrt{5^{2}+5^{2}} =5|c| \sqrt{2}= \sqrt{2}}\) , stąd \(\displaystyle{ |c|= \frac{1}{5} c=\frac{1}{5} c=-\frac{1}{5}}\)

i wtedy: \(\displaystyle{ \vec{x}=[1,0,-1 ] \vec{x}=[-1,0,1 ]}\)

[qku]

Oki. Dzięki Ci bardzo.