Dana jest powierzchnia \(\displaystyle{ z=\sin \left( x-y \right)}\) w punkcie przeci,ęcia tej powierzchni z osia \(\displaystyle{ z}\)podać:
a)równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni w tym punkcie
b)współrzędne wektora n prostopadłego do tej powierzchni dla \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ y=1}\), o module \(\displaystyle{ n=1}\)
c)wspólrzędne \(\displaystyle{ u_{z} \left( x,y \right)}\), \(\displaystyle{ v_{z} \left( x,y \right)}\) wektorów\(\displaystyle{ u= \left( 1,0,u_{z} \right)}\), \(\displaystyle{ v= \left( 0,1,v_{z} \right)}\) takie, aby wektory te były styczne do powierzchni w danym jej punkcie
[ Dodano: 29 Sierpnia 2008, 18:22 ]
nie mam pojecia jak sie za to zabrać. Pomocy
Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
-
Małgosia88
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 20 sie 2008, o 00:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 2 razy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
Macie tę samą poprawkę: https://matematyka.pl/80869.htm?
Dana powierzchnia przecina oś Z w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,0,0 \right)}\).
Odnośnie a) - równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ z=f \left( x,y \right)}\) w punkcie \(\displaystyle{ P \left( x_0,y_0 \right)}\) to:
\(\displaystyle{ z-z_0=\frac{ \partial f}{\partial x} \left( P \right) \cdot \left( x-x_0 \right) + \frac{ \partial f}{\partial y} \left( P \right) \cdot \left( y-y_0 \right)}\).
W naszym wypadku:
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( x-y \right) , \ \frac{\partial z}{\partial x} \left( 0,0 \right) =1 \\
\frac{\partial z}{\partial y} = -\cos \left( x-y \right) , \ \frac{\partial z}{\partial y} \left( 0,0 \right) =-1}\)
a zatem nasza płaszczyzna ma równanie:
\(\displaystyle{ z=x-y}\) czyli \(\displaystyle{ x-y-z=0}\)
Podpunkt b) jest nieprecyzyjnie sformułowany - napiszę więc tylko tyle, że wektorem normalnym do tej płaszczyzny w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,0,0 \right)}\) jest \(\displaystyle{ \left[ 1,-1,-1 \right]}\), więc wszystkie zaczepione w tym punkcie wektory prostopadłe do tej płaszczyzny są postaci \(\displaystyle{ \left[ s,-s,-s \right]}\).
Odnośnie c) - w dowolnym punkcie powierzchni \(\displaystyle{ \left( x,y,z \left( x,y \right) \right)}\) wektorami stycznymi w tym punkcie są \(\displaystyle{ \left( 1,0,\frac{\partial z}{\partial x} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 0,1,\frac{\partial z}{\partial y} \right)}\) - o ile je tylko zaczepić w rozważanym punkcie; dodatkowo należą one wtedy do płaszczyzny stycznej oraz są prostopadłe do prostej normalnej. Tak więc \(\displaystyle{ u_z \left( x,y \right) = \cos \left( x-y \right) , v_z \left( x,y \right) =-\cos \left( x-y \right)}\).
Q.
Dana powierzchnia przecina oś Z w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,0,0 \right)}\).
Odnośnie a) - równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ z=f \left( x,y \right)}\) w punkcie \(\displaystyle{ P \left( x_0,y_0 \right)}\) to:
\(\displaystyle{ z-z_0=\frac{ \partial f}{\partial x} \left( P \right) \cdot \left( x-x_0 \right) + \frac{ \partial f}{\partial y} \left( P \right) \cdot \left( y-y_0 \right)}\).
W naszym wypadku:
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( x-y \right) , \ \frac{\partial z}{\partial x} \left( 0,0 \right) =1 \\
\frac{\partial z}{\partial y} = -\cos \left( x-y \right) , \ \frac{\partial z}{\partial y} \left( 0,0 \right) =-1}\)
a zatem nasza płaszczyzna ma równanie:
\(\displaystyle{ z=x-y}\) czyli \(\displaystyle{ x-y-z=0}\)
Podpunkt b) jest nieprecyzyjnie sformułowany - napiszę więc tylko tyle, że wektorem normalnym do tej płaszczyzny w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,0,0 \right)}\) jest \(\displaystyle{ \left[ 1,-1,-1 \right]}\), więc wszystkie zaczepione w tym punkcie wektory prostopadłe do tej płaszczyzny są postaci \(\displaystyle{ \left[ s,-s,-s \right]}\).
Odnośnie c) - w dowolnym punkcie powierzchni \(\displaystyle{ \left( x,y,z \left( x,y \right) \right)}\) wektorami stycznymi w tym punkcie są \(\displaystyle{ \left( 1,0,\frac{\partial z}{\partial x} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 0,1,\frac{\partial z}{\partial y} \right)}\) - o ile je tylko zaczepić w rozważanym punkcie; dodatkowo należą one wtedy do płaszczyzny stycznej oraz są prostopadłe do prostej normalnej. Tak więc \(\displaystyle{ u_z \left( x,y \right) = \cos \left( x-y \right) , v_z \left( x,y \right) =-\cos \left( x-y \right)}\).
Q.