baza dualna do przestrzeni wektorowej

[kubkub]

W przestrzeni \(\displaystyle{ ((\mathbb{R}^{3})^{*},\mathbb{R},+,\cdot)}\) wyznacz bazę dualną względem bazy \(\displaystyle{ (1,2,0),(-1,4,2),(2,6,2)}\)
Ja zacząłem to robić w ten sposób:

\(\displaystyle{ e_{1} = (1,0,0) \ \ \ (1,2,0) = e_{1} + 2e_{2}}\)
\(\displaystyle{ e_{2} = (0,1,0) \ \ \ (-1,4,2) = -e_{1} + 4e_{2} + 2e_{3}}\)
\(\displaystyle{ e_{3} = (0,0,1) \ \ \ (2,6,2) = 2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3}}\)

Dowolny wektor \(\displaystyle{ X \mathbb{R}^{3}}\) rozkłada się na kombinację liniową bazy:
\(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3}) = a_{1}(e_{1} + 2e_{2}) + a_{2}(-e_{1} + 4e_{2} + 2e_{3}) + a_{3}(2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3})}\)

Z własności bazy dualnej wynika, że jeśli \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3} (\mathbb{R}^{3})^{*}}\) są bazą dualną, to \(\displaystyle{ = x_{i}}\), więc
\(\displaystyle{ = x_{1}}\)
\(\displaystyle{ = x_{2}}\)
\(\displaystyle{ = x_{3}}\)

\(\displaystyle{ = a_1 + a_{2} + \\+a_{3} = \\ = a_{1} + 2a_{1} + \\ \ \ -a_{2} + 4a_{2} + 2a_{2} + \\ 2a_3 + 6a_3 + 2a_3 = a_1 - a_2 + 2a_3}\)

\(\displaystyle{ }\) i \(\displaystyle{ }\) wyznaczam podobnie, co w efekcie daje taki układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1= a_1 - a_2 + 2a_3\\x_2=2a_1 + 4a_2 + 6a_3\\x_3=2a_2 + 2a_3 \end{array}}\)

Chciałbym się upewnić, czy to dobry sposób na zrobienie tego zadania oraz poprosić o pomoc w wyznaczeniu \(\displaystyle{ ,,}\) z tego układu równań. Nie wiem jak to zrobić :/

[robertm19]

Na rozwiązanie tego polecam metodę Gaussa. Czyli
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&2&x1\\0&2&2&x3\\2&4&6&x2\end{array}\right]}\)
Dalej\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&2&x1\\0&2&2&x3\\2&4&6&x2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&2&x1\\0&2&2&x3\\0&0&-2&x2-2x1-3x3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a1-a2+2a3=x1\\2a2+2a3=x3\\-2a3=x2-2x1-3x3 \end{array}}\)