przeprowadz dyskusje rozwiazywalnosci ukladu w zaleznosci od parametrow A i B
\(\displaystyle{ \begin{cases} Bx+Ay=1\\x+Az=B\\y+Bz=A\end{cases}}\)
uklad rownan y parametrami
-
krzysiek_bienio
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 27 kwie 2008, o 11:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubliniec
- Podziękował: 2 razy
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
uklad rownan y parametrami
Zapiszmy układ w postaci macierzowej:
Wówczas mamy \(\displaystyle{ M=-2AB,\ M_x=A^3-A-AB^2,\ M_y=B^3-B-A^2B,\ M_z=1-A^2-B^2}\).
Jeśli \(\displaystyle{ M\neq 0}\), czyli \(\displaystyle{ A\neq 0}\) i \(\displaystyle{ B\neq 0}\), to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ x=\frac{M_x}{M},\ y=\frac{M_y}{M},\ z=\frac{M_z}{M}}\).
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ A=0}\). Wtedy \(\displaystyle{ M=0}\) i oczywiście \(\displaystyle{ M_x=0}\). Ponadto mamy wtedy \(\displaystyle{ M_y=B^3-B=B(B-1)(B+1),\ M_z=1-B^2=-(B-1)(B+1)}\). Widać, że dla \(\displaystyle{ B=-1}\) oraz \(\displaystyle{ B=1}\) mamy także \(\displaystyle{ M_y=M_z=0}\). Stąd przy warunku \(\displaystyle{ (A,B)=(0,-1)}\) lub \(\displaystyle{ (A,B)=(0,1)}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. W pozostałych przypadkach, tzn. dla par \(\displaystyle{ (0,B)}\) przy \(\displaystyle{ B\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}}\) układ jest sprzeczny.
Niech następnie \(\displaystyle{ B=0}\). Wtedy \(\displaystyle{ M=0}\). Zauważając symetrię względem A i B w wyznaczniku \(\displaystyle{ M_z}\) oraz fakt, że \(\displaystyle{ M_x,\ M_y}\) powstają przez zamianę A i B miejscami, dostajemy, że dla par \(\displaystyle{ (A,B)=(-1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (A,B)=(1,0)}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a dla par \(\displaystyle{ (A,0)}\), gdzie \(\displaystyle{ A\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}}\) układ jest sprzeczny.
Reasumując, dla \(\displaystyle{ A\neq 0}\) i \(\displaystyle{ B\neq 0}\) układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie), dla par \(\displaystyle{ (A,B)\in\{(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0)\}}\) układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), zaś w pozostałych przypadkach układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązania).
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} B & A & 0 \\ 1 & 0 & A \\ 0 & 1 & B \end{array} \right] ft[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c} 1 \\ B \\ A \end{array} \right]}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ M=\left| \begin{array}{ccc} B & A & 0 \\ 1 & 0 & A \\ 0 & 1 & B \end{array} \right|}\), \(\displaystyle{ M_x=\left| \begin{array}{ccc} 1 & A & 0 \\ B & 0 & A \\ A & 1 & B \end{array} \right|}\), \(\displaystyle{ M_y=\left| \begin{array}{ccc} B & 1 & 0 \\ 1 & B & A \\ 0 & A & B \end{array} \right|}\), \(\displaystyle{ M_z=\left| \begin{array}{ccc} B & A & 1 \\ 1 & 0 & B \\ 0 & 1 & A \end{array} \right|}\).Wówczas mamy \(\displaystyle{ M=-2AB,\ M_x=A^3-A-AB^2,\ M_y=B^3-B-A^2B,\ M_z=1-A^2-B^2}\).
Jeśli \(\displaystyle{ M\neq 0}\), czyli \(\displaystyle{ A\neq 0}\) i \(\displaystyle{ B\neq 0}\), to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ x=\frac{M_x}{M},\ y=\frac{M_y}{M},\ z=\frac{M_z}{M}}\).
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ A=0}\). Wtedy \(\displaystyle{ M=0}\) i oczywiście \(\displaystyle{ M_x=0}\). Ponadto mamy wtedy \(\displaystyle{ M_y=B^3-B=B(B-1)(B+1),\ M_z=1-B^2=-(B-1)(B+1)}\). Widać, że dla \(\displaystyle{ B=-1}\) oraz \(\displaystyle{ B=1}\) mamy także \(\displaystyle{ M_y=M_z=0}\). Stąd przy warunku \(\displaystyle{ (A,B)=(0,-1)}\) lub \(\displaystyle{ (A,B)=(0,1)}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. W pozostałych przypadkach, tzn. dla par \(\displaystyle{ (0,B)}\) przy \(\displaystyle{ B\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}}\) układ jest sprzeczny.
Niech następnie \(\displaystyle{ B=0}\). Wtedy \(\displaystyle{ M=0}\). Zauważając symetrię względem A i B w wyznaczniku \(\displaystyle{ M_z}\) oraz fakt, że \(\displaystyle{ M_x,\ M_y}\) powstają przez zamianę A i B miejscami, dostajemy, że dla par \(\displaystyle{ (A,B)=(-1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (A,B)=(1,0)}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a dla par \(\displaystyle{ (A,0)}\), gdzie \(\displaystyle{ A\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}}\) układ jest sprzeczny.
Reasumując, dla \(\displaystyle{ A\neq 0}\) i \(\displaystyle{ B\neq 0}\) układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie), dla par \(\displaystyle{ (A,B)\in\{(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0)\}}\) układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), zaś w pozostałych przypadkach układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązania).