czy jest przestrzenią wektorową

[deBart]

Czy \(\displaystyle{ W = \{(x, y, z, t)\in\RR^4 : x+y +z +t = 0 \land 2x+y +z −t = 0\} \subseteq \RR^4}\) jest przestrzenia wektorowa
nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\)? Jesli tak, znalezc jej baze i wymiar.

[robertm19]

Oczywiście jest to podprzestrzeń wektorowa , możesz to sprawdzic z definicji.
Wymiar wyznacza się rozwiązując dany układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z+t=0\\2x+y+z-t=0\end{cases}}\)
Podstawiamy pod \(\displaystyle{ t=k, z=m}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) i\(\displaystyle{ m\in\RR}\), \(\displaystyle{ y=-3k-m x=-k-m+3k+m=2k
}\)
\(\displaystyle{ W=\{(x,y,z,t)=(2k,-3k-m,m,k) , k,m\in\RR\}=\{(x,y,z,t)=k(2,-3,0,1)+m(0,-1,1,0)\}}\)
Zatem baza to \(\displaystyle{ (2,-3,0,1), (0,-1,1,0)}\) a wymiar \(\displaystyle{ =2}\).