Witam!
Mam problem z takim zadaniem:
Dowieść, że nie istnieje izomorficzne odwzorowanie ciała \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}(\sqrt{2}),+,\cdot)}\) na ciało \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}(\sqrt{3}),+,\cdot)}\), gdzie
\(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{n}) = \{ x : \exists a,b \mathbb{Q} \ \ x = a + b\sqrt{n} \}}\)
jak zabrać się do czegoś takiego?
izomorfizmy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
izomorfizmy
Załóżmy, że istnieje taki izomorfizm \(\displaystyle{ \Phi}\).
Oczywiście musi być \(\displaystyle{ \Phi (1) = 1}\) (bo jedynka jednego ciała musi przejść na jedynkę drugiego). Wynika z tego w szczególności, że \(\displaystyle{ \Phi (2)=2}\) (a nawet więcej: izomorfizm jest stały na dowolnej liczbie wymiernej, ale tak mocnej własności nie potrzebujemy). A zatem:
\(\displaystyle{ 2 =\Phi (2)=\Phi (\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=\Phi (\sqrt{2})\cdot\Phi (\sqrt{2}) =\Phi(\sqrt{2})^2}\)
Oznacza to, że w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{3})}\) musi istnieć element, który podniesiony do kwadratu da dwójkę. Łatwo jednak sprawdzić, że równanie \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{3})^2=2}\) nie ma rozwiązań w liczbach wymiernych \(\displaystyle{ a,b}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi, że założenie o istnieniu żądanego izomorfizmu było fałszywe.
Q.
Oczywiście musi być \(\displaystyle{ \Phi (1) = 1}\) (bo jedynka jednego ciała musi przejść na jedynkę drugiego). Wynika z tego w szczególności, że \(\displaystyle{ \Phi (2)=2}\) (a nawet więcej: izomorfizm jest stały na dowolnej liczbie wymiernej, ale tak mocnej własności nie potrzebujemy). A zatem:
\(\displaystyle{ 2 =\Phi (2)=\Phi (\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=\Phi (\sqrt{2})\cdot\Phi (\sqrt{2}) =\Phi(\sqrt{2})^2}\)
Oznacza to, że w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{3})}\) musi istnieć element, który podniesiony do kwadratu da dwójkę. Łatwo jednak sprawdzić, że równanie \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{3})^2=2}\) nie ma rozwiązań w liczbach wymiernych \(\displaystyle{ a,b}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi, że założenie o istnieniu żądanego izomorfizmu było fałszywe.
Q.