Układ równań (chyba nietrywialny).

[eloziom]

Mam zbadać liczbę rozwiązań tego układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x _{3} =1 \\ 2 x_{1}+ x_{2}+3x_{3}+2x_{4} =2p \\ 4 x_{1}+x_{2}+5x_{3}+2x_{4}=p \end{cases}}\)

Co nam daję taką macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&1\\2&1&3&2&2p\\4&1&5&2&p\end{array}\right]}\)

Po przekształceniach wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&1\\0&1&1&2&2p-2\\0&0&0&0&p-2\end{array}\right]}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak teraz określić ilość rozwiązań w zależności od wartości parametru p?

[soku11]

Wydaje mi sie, ze w ostatnim wierszu, ostatniej kolumnie powinno byc \(\displaystyle{ -p-2}\). I tak bede rozwiazywal
Ostatni wiersz jest specyficzny, tj. masz wszystkie zera oprocz wyrazu wolnego. Aby wiec mozna wogole bylo mowic o rozwiazaniu, trzeba zalozyc, ze po prawej tez jest 0. Czyli mamy brak rozwiazania, jesli po prawej w ostatnim wierszu bedzie cos roznego od 0 (sprzeczne rownanie):
\(\displaystyle{ \mbox{brak dla: }\ \ -p-2\neq 0\ \ \Rightarrow\ \ p\neq -2}\)

Czyli dla \(\displaystyle{ p=-2}\) musimy oddzielnie policzyc:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c}1&0&1&0&1\\2&1&3&2&-4\\4&1&5&2&-2\end{array}\right]\ \Rightarrow\ \
\left[\begin{array}{cccc|c}1&0&1&0&1\\0&1&1&2&-6\\0&1&1&2&-6\end{array}\right]\ \Rightarrow\ \
\left[\begin{array}{cccc|c}1&0&1&0&1\\0&1&1&2&-6\end{array}\right]}\)

Co daje nam poprostu uklad rownan, ktory nalezy rozwiazac przyjmujac jakies parametry (4 zmienne, 2 rownania => 2 parametry):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_3=1\\ x_2+x_3+2x_4=-6\end{cases}\\
\begin{cases} x_1=-x_3+1\\ x_2=-x_3-2x_4-6\end{cases}\\}\)

Czyli mamy nieskonczenie wiele rozwiazan w zaleznosci od dwoch parametrow (\(\displaystyle{ x_3,\ x_4}\)).
Pozdrawiam.

[eloziom]

Dziękuję!