Rząd macierzy

[eloziom]

\(\displaystyle{ Niech\ \vec{ x }=\ ft[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] \ oraz\ \vec{y}=\left[\begin{array}{c} y_{1} \\y_{2}\\y_{1
3}\end{array}\right] \ beda\ ortonormalnymi\ wektorami\ w\ R^{3}\ A= \vec{x}* \vec{y}^{T}= ft[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] * ( y_{1},y_{2},y_{3} )}\)

Jaki jest rząd macierzy A? Może mi ktoś wytłumaczyć jak z tego zrobić macierz i jak ona będzie wyglądać?

[N4RQ5]

Rozumiem że chodzi ci o mnożenie macierzy.
Wtedy dostaniesz macierz 1x1 o wartości \(\displaystyle{ x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3}\)
Co jest przy okazji iloczynem skalarnym wektorów x i y czyli jest równe 0 (z prostopadłości wektorów) Zatem masz macierz [0] i jej rząd jest równy 0

[bedbet]

Wygodnie jest skożystać przy mnożeniu macierzy ze schematu Falka.

P.S. N4RQ5 sprawdź swoje obliczenia.

[N4RQ5]

A racja. Tak to jest jak się przez wakacje zapomni co i jak a potem próbuje z pamięci pisać. Przepraszam.

[eloziom]

Czyli ta macierz będzie wyglądała tak?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x _{1} y_{1} &x _{1} y_{2}&x _{1} y_{3}\\x _{2} y_{1}&x _{2} y_{2}&x _{2} y_{3}\\x _{3} y_{1}&x _{3} y_{2}&x _{3} y_{3}\end{array}\right]}\)

Czyli rząd=3
edit: czy 1?

Mnożenie kolumn i wierszy nie zmienia rzędu macierzy czyli dziele pierwszy wiersz przez x1 drugi przez x2 trzeci przez x3 i wychodzi mi że macierz wygląda tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}y_{1}&y_{2}& y_{3} \\y_{1}&y_{2}& y_{3}\\y_{1}&y_{2}& y_{3}\end{array}\right]}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}y_{1}&y_{2}& y_{3} \\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)
a z tego wynika że rząd=1.

Może ktoś powiedzieć czy mam rację?

[bedbet]

Tak. Macierz jest \(\displaystyle{ 3 3}\). Jednak wcale to nie oznacza, że rząd tej macierzy wynosi \(\displaystyle{ 3}\).

[ Dodano: 20 Sierpnia 2008, 12:24 ]
Tak możesz zrobić przy założeniu, że żadna ze składowych wektora \(\displaystyle{ \vec{x}}\) nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

[eloziom]

Czyli jeśli \(\displaystyle{ \vec{x} \vec{y}}\) mają w składowych zero to macierz będzie mieć rząd 3 w p.p. rząd wynosi 1. Zgadza się?


Edit:

A jakbym chciał wyznaczyć wszystkie wartości własne A to:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} t&0&0\\0&t&0\\0&0&t\end{array}\right] -
ft[\begin{array}{ccc} y_{1} &y_{2}&y_{3}\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]=
ft[\begin{array}{ccc} t-y_{1} &-y_{2}&-y_{3}\\0&t&0\\0&0&t\end{array}\right]}\)

co nam daje
\(\displaystyle{ ((t- y_{1})t^{2} )
\ czyli \ t=0 t= y_{1}}\)

Dobrze to rozumiem?

[bedbet]

Niekoniecznie. Jeżeli którakolwiek ze składowych wektora \(\displaystyle{ \vec{x}}\)będzie wynosiła \(\displaystyle{ 0}\), to oznacza tylko tyle, że sposób przez Ciebie zaprezentowany jest niepoprawny (dzielenie przez \(\displaystyle{ 0}\)). W żaden sposób nie wynika z tego, że \(\displaystyle{ rz(A)=3}\), gdy tylko składowe wektora \(\displaystyle{ \vec{x}}\) są różne od \(\displaystyle{ 0}\). Wskazówka:

\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{ccc}x_1y_1&x_1y_2&x_1y_3\\x_2y_1&x_2y_2&x_2y_3\\x_3y_1&x_3y_2&x_3y_3\end{array}\right]=x_1y_1x_2y_2x_3y_3+x_1y_2x_2y_3x_3y_1+x_1y_3x_2y_1x_3y_2-x_1y_3x_2y_2x_3y_1-x_1y_2x_2y_1x_3y_3-x_1y_1x_2y_3x_3y_2=0}\)

Zatem \(\displaystyle{ rz(A)\neq3}\). Spawdzenie, czy \(\displaystyle{ rz(A)=2}\), bądź \(\displaystyle{ rz(A)=1}\) zostawiam Tobie.

P.S. Z tymi wartościami własnymi to wzór jest postaci \(\displaystyle{ det(A-tI)=0}\), a nie \(\displaystyle{ det(tI-A)=0}\). Poza tym macierz \(\displaystyle{ A=\vec{x}\cdot\vec{y}^T}\) nie jest podanej przez Ciebie tutaj postaci.

[eloziom]

... erystyczny
Chyba jednak miałem rację z tymi wartościami własnymi..
"[...]Tym samym pierwiastki wielomianu det(t I − A) są wartościami własnymi A."

Bardzo dziękuję za pomoc!:)

[bedbet]

Pamiętaj, że wikipedia nie jest kompetentnym źródłem wiedzy. Odsyłam do fachowej literatury.

[eloziom]

Ale to nie ma znaczenia ponieważ możemy pomnożyć każdy wiersz(kolumnę) przez -1 i otrzymujemy macierz którą chcemy a tego typu działanie nie możemy zmienić miejsc zerowych wyznacznika (więc chyba obaj mamy rację:)).

Pozdrawiam!

[bedbet]

W tym wypadku nie jest to błąd, ale uczulam na przyszłość z czerpania wiedzy matematycznej z wikipedii. P.S. Wartości własne zazwyczaj oznaczamy w matematyce \(\displaystyle{ \lambda}\). Pozdrawiam!