Witam mam jeszcze jedno zadanie, nie chodzi mi o sam wynik, co metodę dochodzenia do niego
1)Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty:
A=(0,2,4) i prostopadłej do płaszczyzny: \(\displaystyle{ \pi: x-2y+z-6=0}\), oraz znaleźć współrzędne punktu A' symetrycznego do A względem tej płaszczyzny.
2)Napisać równanie płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny o równaniach:\(\displaystyle{ \pi_{1}: 2x-y+z=1}\), \(\displaystyle{ \pi_{2}: -x+z=2}\) i zawierającej punkt P=(3,-1,0).
Z góry dziękuję za wytłumaczenie
1)
Z równania płaszczyzny wyznaczasz wektor prostopadły czyli wktor normalny v=[1,-2,1].
Zatem równanie protsej prostopadłej wygląda tak : (x,y,z)=(0,2,4)+t[1,-2,1] , gdzie t należy do R.
Chcąc wyznaczyć punkt symetryczny rozwiązujesz układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+z-6=0\\(x,y,z)=(0,2,4)+t[1,-2,1]\end{cases}}\)
dalej otrzymujesz \(\displaystyle{ t-4+4t+4+t-6=0}\) wyliczasz t: \(\displaystyle{ t=1}\)
Dla t=1 otrzymasz punkt przecięcia prostej z płaszczyzną natomiast dla t =2 otrzymasz punkt symetryczny:)
2) Dane płaszczyzny wyznaczają prostą - przejdź do jej postaci parametrycznej i wektor rozpinający tę prostą potraktuj jako wektor normalny poszukiwanej płaszczyzny. Po wstawieniu współrzędnych danego punktu - wyznaczysz \(\displaystyle{ D}\) (ostatni ze współczynników szukanego równania
Pozdrawiam
PS. Już wiem skąd tamte texy - hurt
2)
Wektor normalny dla pierwszej płaszczyny to : \(\displaystyle{ \vec{n}=[2,-1,1]}\)
dal drugeij to: \(\displaystyle{ \vec{m}=[-1,0,1]}\).
Dla trzeciej oznoczmy \(\displaystyle{ \vec{k}=x,y,z]}\). Warunkiem aby trzecia płaszczyzna była prostopadła do dtugeij i pierwszej jest : \(\displaystyle{ \vec{k}\circ\vec{n}=0 i \vec{k}\circ\vec{m}=0}\). Stąd korzystając ze standardowego iloczynu skalarnego otrzymasz układ równań : \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+z=0\\x-z=0\end{cases}}\)
Rozwiązując otrzymasz \(\displaystyle{ [x,y,z]=t[1,1,-1] , gdzie t\in R}\)
Szukanym wktorem \(\displaystyle{ \vec{k}}\) jest np. [1,1,-1].
Dalej korzystasz z równania ogólnego podstawiając punkt (3,-1,0).
witam, prosze o pomoc w rozwiązaniu kilku zadanek ;]
1. Oblicz objętosc czworościanu ABCD o wierzchołkach:\(\displaystyle{ A(1,1,2), B(2,1,0) C(2,-1,-1), D(1,-2,-1)}\). Wyznacz długość, współrzędne wysokości opuszczonej z wierzchołka B oraz równanie płaszczyzny zawierającej podstawę ABC.
2. Wyznacz punkt symetryczny do punktu A(6,9,1) względem prostej
3. Korzystając z twierdzenia Kroneckera przedyskutuj ilość rozwiązań układu zależnie od parametru \(\displaystyle{ \begin{cases}2x+ay=1\\ x+y=1\\ ax+ay=1 \end{cases}}\)
4. Wyznacz równanie prostej równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : x+2y+3z-2=0}\) oraz prostopadłej do \(\displaystyle{ \vec{a} = ( \vec{j} - \vec{k} ) x ( \vec{k} - \vec{j} + 2 \vec{i} )}\) oraz zawierającą punkt \(\displaystyle{ A(1,0,1)}\)?
