Równianie płaszczyzny

[morph]

1.Napisać równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(1,2,-1)}\) i równoległej do prostych
\(\displaystyle{ l_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\y=1-t, \quad\quad gdzie\quad t R\\z=2+3t \end{array}}\)
\(\displaystyle{ l_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\y=2t, \quad\quad\quad gdzie\quad t R\\z=-2+t \end{array}}\)

[natkoza]

o ile dobrze pamiętam to jak płaszczyzna jest równoległa do prostych to jest równoległa do wektorów rozpinających te proste tj w naszym przypadku do wektorów \(\displaystyle{ [2,-1,3],[-1,2,1]}\).
Wektor normalny \(\displaystyle{ \pi}\) rozważanej w zadaniu ma postać:
\(\displaystyle{ [2,-1,3]\times [-1,2,1]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-1&3\\-1&2&1\end{array}\right|=-7i-5j-3k}\)
a zatem wektorem normalnym jest wektor: \(\displaystyle{ [-7,-5,-3]}\).
Równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \pi: (x-1,y-2,z+1)\circ (-7,-5,-3)=0}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \pi:-7x-5y-3z+14=0}\)