Macierz przejscia

[arikadiusz]

Podany uklad wektorow uzupelnic do bazy przestrzeni R4

\(\displaystyle{ (1,2,4,0),(2,0,1,0)}\)

Nastepnie napisac macierz przjscia z bazy standardowej R4 do otrzymanej bazy.

[kuch2r]

wystarczy tak dobrac dwa wektory \(\displaystyle{ u,v\in \mathbb{R}^4}\), tak aby macierz utworzona z powyzszych 4 wektorow miała wyznacznik rozny od 0.

[natkoza]

takimi wektorami mogą byc np \(\displaystyle{ (0,0,1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,0,0,1)}\)
w sytuacji kiedy mamy wyznaczyć macierz przejścia z bazy kanonicznej (standardowej)szukaną macierzą przejścia jest macierz w której kolumnami macierzy przejścia są po prostu kolejne wektory nowej bazy czyli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0\\2&0&0&0\\4&1&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)
jeżeli mielibyśmy wyznaczyć macierz przejścia odwrotną tj z otrzymanej bazy do bazy kanonicznej to są dwa sposoby:
1.
\(\displaystyle{ e_1=(1,0,0,0)=0\cdot (1,2,4,0)+\frac{1}{2}\cdot (2,0,1,0)+(-\frac{1}{2})\cdot (0,0,1,0)+0\cdot (0,0,0,1)\\
e_2=(0,1,0,0)=\frac{1}{2}\cdot (1,2,4,0)+(-\frac{1}{4})\cdot (2,0,1,0)+(-\frac{7}{4})\cdot (0,0,1,0)+0\cdot (0,0,0,1)\\
e_3=(0,0,1,0)=0\cdot (1,2,4,0)+0\cdot (2,0,1,0)+1\cdot (0,0,1,0)+0\cdot (0,0,0,1)\\
e_4=(0,0,0,1)=0\cdot (1,2,4,0)+0\cdot (2,0,1,0)+0 (0,0,1,0)+1\cdot (0,0,0,1)}\)
a zatem szukana macierz przejścia to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}&0&0\\-\frac{1}{2}&-\frac{7}{4}&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)
2. Szukana macierz przejścia jest macierzą odwrotną do macierzyprzejścia z bazy kanonicznej do naszej bazy