Wymiar jądra homomorfizmu liniowego

[krisek]

Witam,
Proszę o rozwiązanie zadania:
Podaj wymiar jądra homomorfizmu liniowego h: \(\displaystyle{ R ^{3} R ^{2}}\),
\(\displaystyle{ h((x _{1},x_{2},x_{3}))=(x _{1}+2x _{3},2x _{2}-2x _{3})}\)

Z góry dziękuję

[kuch2r]

Skoro mamy wyznaczyc wymiary jadra, wystarczy zatem rozwazyc uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+2x_3=0\\2x_2-2x_3=0\end{cases}}\)
Otrzymujemy odpowiednio:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=-2x_3\\x_2=x_3\end{cases}}\)
Niech:
\(\displaystyle{ x_3=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\)
StaD:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=-2t\\x_2=t\end{cases}}\)
Zatem rozwiazaniem wyjsciowego ukladu rownan jest trojka:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)=(-2t,t,t)=t(-2,1,1)}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \dim{\ker{h}}=1}\)