Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1,-2,1) i równoległej do płaszczyzn
π1: x-2y+3z-1=0, π2: -x+3y-z+5=0. Czy ktoś mógłby mi pomoc?
prosta i równolegla
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
prosta i równolegla
Równanie tej prostej będzie postaci \(\displaystyle{ \frac{x-1}{a} = \frac{y+2}{b} = \frac{z-1}{c}}\). Wektorami normalnymi podanych płaszczyzn są np. \(\displaystyle{ [1,-2,3],[-1,3,-1]}\). Wektor \(\displaystyle{ [a,b,c]}\) musi być prostopadły do obydwu tych wektorów, czyli otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} [1,-2,3] \circ [a,b,c]=0 \\ [-1,3,-1] \circ [a,b,c]=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-2b+3c=0 \\ -a+3b-c=0 \end{cases}}\)
Ten układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (i dobrze, bo liczby a,b,c możemy dobrać na nieskończenie wiele sposobów). Wystarczy teraz znaleźć jedno z rozwiązań, np. \(\displaystyle{ a=7,b=2,c=-1}\). Otrzymujemy ostatecznie równanie prostej \(\displaystyle{ \frac{x-1}{7} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-1}}\), albo jeśli wolisz parametrycznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=7t+1 \\ y=2t-2 \\ z=-t+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} [1,-2,3] \circ [a,b,c]=0 \\ [-1,3,-1] \circ [a,b,c]=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-2b+3c=0 \\ -a+3b-c=0 \end{cases}}\)
Ten układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (i dobrze, bo liczby a,b,c możemy dobrać na nieskończenie wiele sposobów). Wystarczy teraz znaleźć jedno z rozwiązań, np. \(\displaystyle{ a=7,b=2,c=-1}\). Otrzymujemy ostatecznie równanie prostej \(\displaystyle{ \frac{x-1}{7} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-1}}\), albo jeśli wolisz parametrycznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=7t+1 \\ y=2t-2 \\ z=-t+1 \end{cases}}\)