grupa multiplikatywna??

[swinia22]

mogłby ktoś podać jakąś pomoc w rozwiazaniu zadania i??

wsród wymienionych liczb x wskazać elementy grupy multiplikatywnej mod 200??

39
48
60
71
93

[Qń]

Grupa multiplikatywna \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{200}^{*}}\) to grupa złożona z elementów odwracalnych w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{200}}\) z działaniem mnożenia modulo \(\displaystyle{ 200}\). A elementami odwracalnymi w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\) są takie liczby \(\displaystyle{ k}\), dla których \(\displaystyle{ NWD (n,k) =1}\). Zatem z wymienionych przez Ciebie liczb odwracalne są tylko \(\displaystyle{ 39,71,93}\).

Q.

[swinia22]

Dzieki. a mogłbyś jeszcze podać mi odpowiedzi na inne pytania.??
np??
Wartość funkcji eulera dla 25 wynosi fi(25)
korzystajac z twierdzenia fermata wyznaczyć x=6^203mod 25

????

[Qń]

Gdybyś używał TeX-a, łatwiej by się Ciebie czytało.

Tw. Eulera (czy też jak kto woli, uogólnione małe tw. Fermata) mówi, że jeśli \(\displaystyle{ NWD(a,m)=1}\), to:
\(\displaystyle{ a^{\phi(m)} = 1 \ mod \ m}\)

Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ \phi (25) = 20}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(6,25)=1}\), mamy z tego twierdzenia:
\(\displaystyle{ 6^{20}=1 \ mod \ 25}\)
Po podniesieniu obu stron do dziesiątej potęgi:
\(\displaystyle{ 6^{200}=1 \ mod \ 25}\)
mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ 6^3=216}\):
\(\displaystyle{ 6^{203}=216= 16 \ mod \ 25}\)

Q.