uzupełnienie bazy

[juvex]

mam takie zadanie:
Sprawdzić czy podane wektory są ortogonalne w danej przestrzeni euklidesowej, jeśli tak to uzupełnić je do bazy ortogonalnej tej przestrzeni.

u1 = (1,4,-2), u2 = (2,-1,-1) w E do potęgi 3
a dalej takie rozwiązanie:

u1 jest prostopadłe do u2 wtedy i tylko wtedy gdy (u1,u2) = 0

(u1,u2) =2-4+2=0

dalej mam tak zapisane: Najpierw uzupełniamy je do zwykłej bazy a następnie ortogonalizujemy zostawiając u1 i u2 bez zmian

i mam zapisane że u3=(0,0,1)


Mógłby mi ktoś powiedzieć jak został znaleziony ten wektor \(\displaystyle{ u_{3}}\)

zależy mi na czasie
nie mogłem zapisać w latexie bo jakieś błędy mi pokazywał

[kuch2r]

W ogolnym przypadku:
niech:
\(\displaystyle{ u_3}\) - bedzie naszym wektorym w \(\displaystyle{ R^3}\) takim, ze ma stanowic baze wraz z \(\displaystyle{ u_1,u_2}\).Ponadto:
\(\displaystyle{ u_3=(a,b,c)}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&4&-2\\2&-1&-1\\a&b&c\end{array}\right]}\)
Nalezy tak dobrac stałe \(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{R}}\), aby \(\displaystyle{ \det{A}\neq 0}\)
Szczegolnym przypadkiem, bedzie sytuacja kiedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0\\b=0\\c=1\end{cases}}\)