Macierz odwrócona

[Sheva23]

Chciałem prosić o pomoc w rozwiązaniu następującego układu równań metodą macierzy odwróconej. Umiem to rozwiązać normalnie, ale nie kumam zupełnie jak się tą metodą odwróconej rozwiązuje. Liczę na Waszą pomoc. Pozdrawiam!


\(\displaystyle{ x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 10}\)
\(\displaystyle{ 3x _{1} + 2x _{2} + x _{3} = 20}\)
\(\displaystyle{ x _{1} - x _{2} + 3x _{3} = 25}\)

[kuch2r]

Niech:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc} 1&3&1\\3&2&3\\1&-1&3\end{array}\right]\qquad
X=\left[\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]\qquad
B=\left[\begin{array}{c}10\\20\\25\end{array}\right]}\)
Nasze rownanie mozemy zapisac w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ A\cdot X=B}\)
Stad:
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot B}\)
,gdzie \(\displaystyle{ A^{-1}}\) - macierz odwrotna do macierzy \(\displaystyle{ A}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1+3x_2+x_1=10\\3x_1+2x_2+x_3=20\\x_1-x_2+3x_3=25 \end{array}\Leftrightarrow ft[\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&2&1\\1&-1&3\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}10\\20\\25\end{array}\right]\Leftrightarrow ft[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&2&1\\1&-1&3\end{array}\right]^{-1} ft[\begin{array}{ccc}10\\20\\25\end{array}\right]}\)
o ile nic nie poknociłam to powinno cos z tego wyjść

[Sheva23]

To coś nie tak jest, na forum znalazłem temat podobny do tego i jest tam to rozwiązane, tylko w pewnych momentach nie wiem co skąd się wzięło.
Możecie mi pomóc w wyliczeniu wyznacznika det (A) tak krok po kroku oraz napisać w jaki sposób dokładnie się wylicza D11, D12, D13 itd.?
wiem, że to się mnoży macierz przez -1 do potęgi ale jak z tego wynik zrobić liczbowy to nie mogę dojść :/ Help

[meninio]

Piszemy układ równań w postaci macierzowej:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&2&1\\1&-1&3\end{array}\right]
ft[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}10\\20\\25\end{array}\right] \\ \\ AX=B X=A^{-1}B\\ \
ft[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&2&1\\1&-1&3\end{array}\right]^{-1} ft[\begin{array}{ccc}10\\20\\25\end{array}\right]}\)

Musimy znaleźć macierz odwrotną do macierzy A: \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{det A}A^T_D}\)

1. Najpierw liczymy wyznacznik macierzy A:
\(\displaystyle{ det A=1*2*3+3*(-1)*1+3*1*1-1*2*1-3*3*3-1*(-1)*1=-22}\)

2. Szukamy macierzy dopełnień algebraicznych macierzy A:

\(\displaystyle{ A_D=\left[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}2&1\\-1&3\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}3&1\\1&3\end{array}\right|&\left|\begin{array}{cc}3&2\\1&-1\end{array}\right|\\\ \\-\left|\begin{array}{cc}3&1\\-1&3\end{array}\right|&\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&3\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}1&3\\1&-1\end{array}\right|\\\ \\\left|\begin{array}{cc}3&1\\2&1\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}1&1\\3&1\end{array}\right|&\left|\begin{array}{cc}1&3\\3&2\end{array}\right|\end{array}\right]=
ft[\begin{array}{ccc}7&-8&-5\\-10&2&4\\1&2&-7\end{array}\right]}\)

3. Transponujemy powstałą macierz:

\(\displaystyle{ A^D_T=\left[\begin{array}{ccc}7&-10&1\\-8&2&2\\-5&4&-7\end{array}\right]}\)

4. Więc macierz odwrotna do macierzy A wygląda następująco:

\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{det A}A^T_D=-\frac{1}{22}\left[\begin{array}{ccc}7&-10&1\\-8&2&2\\-5&4&-7\end{array}\right]}\)

5. Wstawiamy do naszego równania i liczymy X:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=-\frac{1}{22}\left[\begin{array}{ccc}7&-10&1\\-8&2&2\\-5&4&-7\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}10\\20\\25\end{array}\right] \\ \\ ft[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=-\frac{1}{22}\left[\begin{array}{ccc}7*10+(-10)*20+1*25\\-8*10+2*20+2*25\\-5*10+4*20+(-7)*25\end{array}\right]=-\frac{1}{22}\left[\begin{array}{ccc}-105\\10\\-145\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{105}{22}\\\ \\\ \frac{-10}{22}\\\ \\\frac{145}{22}\end{array}\right]}\)

Bardzo możliwe, że mogłem się gdzieś pomylić, ale wątpię.

[ Dodano: 17 Czerwca 2008, 10:12 ]
Wynik jest na pewno dobrze bo sprawdziłem!!!

[natkoza]

macierz odwrotną można też policzyć metodą przekształceń elementarnych może bardziej pracochłonne, ale jak się nie pamięta jak się tworzy macierze dopełnień to lepiej rozwiązywać "na około" niz nie rozwiązywać wcale

[Sheva23]

Dzięki wielkie, już wszystko wiem i umiem sam to policzyć :]
Nie jest takie trudne jak się okazuje, ale trzeba podstawy znać :]
Wynik też sprawdziłem sam wyszedł świetnie.
Pozdrawiam