Własności wektorów i wartości własnych macieży hermitowskiej

[Jumparround]

1. Udowodnić, że wektory własne macieży hermitowskiej są ortogonalne.
2. Udowodnić że wartosci wlasne macierzy hermitowskiej sa liczbami rzeczywistymi.

Wiem mniej wiecej czym sa macieze hermitowskie \(\displaystyle{ ( A\star=A )}\), jak policzyc wektory własne na konkretym przykładzie oraz czym jest ortogonalnosc wektorow.. nie mam jednak pomysłu jak przeprowadzić ten dowód bez żadnych danych. Z góry dzięki za rozwiązanie / podpowiedzi

[Amon-Ra]

Ad 1. Niech wektory \(\displaystyle{ x_1, \, x_2 V}\), gdzie V - pewna przestrzeń liniowa, ponadto niech \(\displaystyle{ \lambda_1, \, \lambda_2 \mathbb{R}, \, \lambda_1 \lambda_2}\) - rzeczywiste liczby. Niech operator \(\displaystyle{ A: V \longrightarrow V}\) będzie operatorem liniowym hermitowskim, tzn. \(\displaystyle{ A^{\dagger}=A}\). Dla operatorów nad przestrzeniami skończeniewymiarowymi, które mają jednoznaczną reprezentację macierzową sprzężenie hermitowskie sprowadza się do transpozycji macierzy operatora i sprzężenia zespolonego wszystkich jej elementów, tj. \(\displaystyle{ A_{ij}^{\dagger}={A}_{ji}^{*}}\). Przez \(\displaystyle{ V\times V \ni (x_1, x_2 ) \longrightarrow \langle x_1, x_2 \rangle \mathbb{C}}\) oznaczam iloczyn skalarny w tej przestrzeni.

Załóżmy, iż spełnione jest równanie własne operatora, tj. \(\displaystyle{ Ax_1 = \lambda_1 x_1}\) oraz \(\displaystyle{ Ax_2 = \lambda_2 x_2}\).

Letalną własnością operatorów hermitowskich jest możliwość przerzucania ich w iloczynie skalarnym:

\(\displaystyle{ \langle x_1, Ax_2 \rangle = \langle A^{\dagger}x_1, x_2 \rangle = \langle Ax_1, x_2 \rangle}\)

Przemnóżmy iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \langle x_1, x_2 \rangle}\) przez wartość własną \(\displaystyle{ \lambda_2}\):

\(\displaystyle{ \lambda_2 \langle x_1, x_2 \rangle = \langle x_1, \lambda_2 x_2 \rangle = \langle x_1, Ax_2 \rangle = \langle A^{\dagger}x_1, x_2 \rangle = \langle \lambda_1 x_1, x_2 \rangle = \lambda_{1}^{*}\langle x_1, x_2\rangle = \\ \lambda_1 \langle x_1, x_2 \rangle , \, \lambda_1 \mathbb{R}}\)

Stąd \(\displaystyle{ \lambda_1 \langle x_1, x_2 \rangle = \lambda_2 \langle x_1, x_2 \rangle}\) lub inaczej \(\displaystyle{ (\lambda_1 - \lambda_2 ) \langle x_1, x_2 \rangle = 0}\), co przy warunku \(\displaystyle{ \lambda_1 \lambda_2}\) daje automatycznie \(\displaystyle{ \langle x_1, x_2 \rangle = 0}\) i implikuje ortogonalność wektorów własnych.

[Jumparround]

Dzięki.

Chociaż nadal nie wiem czemu te 2 iloczyny sa sobie rowne?
\(\displaystyle{ \langle x_1, Ax_2 \rangle = \langle A^{\dagger}x_1, x_2 \rangle}\)

A w razie jakby ktos szukal tego co ja w topicu to zamieszczam bardzo uproszczony prowizyoryczny dowód dla hermitowskiej macierzy 2x2 na to ze wartosci wlasne sa rzeczywiste:

\(\displaystyle{ \left| a-\lambda \ \ \ x+iy \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| x-iy \ \ \ b-\lambda \right|}\)

\(\displaystyle{ W=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda^2-\lambda(a+b)+ab-y^2=0}\)

czesci urojone sie poskracaly, zatem pierwiastki tego rownania \(\displaystyle{ \lambda_1, \, \lambda_2 \mathbb{R}}\)

[Qń]

Że wartości własne są rzeczywiste udowadnia się też prosto - jeśli \(\displaystyle{ Ax=\lambda x}\) dla \(\displaystyle{ x 0}\), to:
\(\displaystyle{ \lambda \langle x,x \rangle = \langle \lambda x, x \rangle = \langle Ax, x \rangle = \langle A^{*}x,x \rangle = \\ = \langle x,Ax \rangle = \langle x, \lambda x \rangle =
\overline{\lambda} \langle x,x \rangle}\)
a stąd \(\displaystyle{ \lambda = \overline{\lambda}}\), czyli \(\displaystyle{ \lambda \mathbb{R}}\).

Q.