W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) dane są funkcjonały dwuliniowe \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) dane wzorami:
\(\displaystyle{ f(X,Y)=X^T\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{2}&1\end{array}\right)Y,g(X,Y)=X^T\left(\begin{array}{ccc}3&2&-1\\2&2&1\\-1&1&1\end{array}\right)Y}\)
Który z nich okresla iloczyn skalarny> odpowiedź uzasadnij.
i robie tak:
pisze definicje iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ \xi(x,y)}\)iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow :}\)
\(\displaystyle{ 1) \forall_{x}[\xi(x,x)\geq 0 \wedge \xi(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0]\\
2) \forall{x,y,z}\forall_{\alpha,\beta}\xi(\alpha x+\beta y,z)=\alpha\xi(x,z)+\beta\xi(y,z)\\
3) \forall_{x,y}\xi(x,y)=\xi(y,x)}\)
i stwierdzam, ze \(\displaystyle{ 2),3)}\) są w tym przypadku spełnione zarówno dla \(\displaystyle{ f}\) jak i dla \(\displaystyle{ g}\) bo sa to funkcjonały dwuliniowe
więc pozostaje do sprawdzenia warunek \(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ \forall_{x}[\xi(x,x)\geq 0 \wedge \xi(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0]\Leftrightarrow}\) forma kwadratowa \(\displaystyle{ \xi(x,x)}\) jest dodatnio określona, więc zgodnie kryterium Sylvestera wyznaczniki wiodących minorów głównych są dodatnie, więc licze:
dla \(\displaystyle{ f}\)
\(\displaystyle{ M_1=a_{11}=2>0\\
M_2=det \left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&1\end{array}\right]=1>0\\
M_3=det \left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{2}&1\end{array}\right]=\frac{1}{2}>0}\)
zatem warunek \(\displaystyle{ 1)}\) jest spełniony czyli jest to iloczyn skalarny
dla \(\displaystyle{ g}\)
\(\displaystyle{ M_1=a_{11}=3>0\\
M_2=det \left[\begin{array}{ccc}3&2\\2&2\end{array}\right]=2>0\\
M_3=det ft[\begin{array}{ccc}3&2&-1\\2&2&1\\-1&1&1\end{array}\right]=-7}\)