Witam
Mam problem z dwoma zadaniami z prostokątów łacińskich.
1. Na ile różnych sposobów można rozszerzyć poniższy prostokąt łaciński 2 x 5 do kwadratu łacińskiego 5 x 5:
\(\displaystyle{ {{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5} \choose {5 \ 3 \ 1 \ 2 \ 4}}}\)
2. Udowodnić, że jeśli m < n, to prostokąt łaciński o wymiarach m x n można rozszerzyć do prostokąta łacińskiego o wymiarach (m + 1) x n na co najmniej (n − m)!.
W pierwszym próbowałem wykombinować coś z permutacji, ale chyba nie tędy droga A na drugie nie mam w ogóle pomysłu.
Prostokąt łaciński
-
- Użytkownik
- Posty: 394
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
Prostokąt łaciński
Nie ten dział, o raczej matematyka dyskretna.
Ad.2
Krótko mówiąc dopisujemy kolejny wiersz do macierzy. W pierwszej kolumnie tego rzędu możemy liczbę wpisać na (n-m) sposobów, bo mamy n liczb, ale m wykorzystaliśmy w poprzednich wierszach tej kolumny. W każdej kolejnej kolumnie mamy o 1 możliwość mniej (bo dodatkowo uwzględniamy liczby użyte w tym wierszu). Stąd dostajemy odpowiedź.
Ad.1
Korzystamy z zadania 2 Nie wydze szybszej i przyjemniejszej metody
Ad.2
Krótko mówiąc dopisujemy kolejny wiersz do macierzy. W pierwszej kolumnie tego rzędu możemy liczbę wpisać na (n-m) sposobów, bo mamy n liczb, ale m wykorzystaliśmy w poprzednich wierszach tej kolumny. W każdej kolejnej kolumnie mamy o 1 możliwość mniej (bo dodatkowo uwzględniamy liczby użyte w tym wierszu). Stąd dostajemy odpowiedź.
Ad.1
Korzystamy z zadania 2 Nie wydze szybszej i przyjemniejszej metody
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 11 lis 2005, o 21:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 1 raz
Prostokąt łaciński
Ale jak mam np. prostokąt 2x5 i chcę dodać jeden wiersz, to w pierwszej kolumnie mam (5-2), w drugiej (5-3), w trzeciej (5-4) i co dalej?