Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łowicz
- Podziękował: 5 razy
Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
Zadanie brzmi:
Jaki warunek musi spełniać macierz A o elementach całkowitych, aby macierz do niej odwrotna posiadała elementy całkowite?
Dzięki.
Jaki warunek musi spełniać macierz A o elementach całkowitych, aby macierz do niej odwrotna posiadała elementy całkowite?
Dzięki.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
Musi być: \(\displaystyle{ | \det A | = 1}\).
Wskazówka do udowodnienia konieczności warunku: \(\displaystyle{ \det A^{-1} = \frac{1}{\det A}}\)
Wskazówka do udowodnienia wystarczającości warunku: \(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{A_{ij}^T}{\det A}}\)
Q.
Wskazówka do udowodnienia konieczności warunku: \(\displaystyle{ \det A^{-1} = \frac{1}{\det A}}\)
Wskazówka do udowodnienia wystarczającości warunku: \(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{A_{ij}^T}{\det A}}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
Właściwie wszystko jest już napisane (albo co najmniej zasugerowane ), ale powtórzę: wychodzimy od równości \(\displaystyle{ \det A \det A^{-1} =1}\) i wnioskujemy z niej, że jeśli obie macierze mają mieć wyrazy całkowite, czyli także wyznaczniki całkowite, to te wyznaczniki muszą być równe oba jeden albo oba minus jeden. Stąd mamy konieczność warunku \(\displaystyle{ | \det A | =1}\). Natomiast korzystając ze wzoru na macierz odwrotną (tego przy użyciu dopełnień algebraicznych), łatwo pokazać, że ten warunek także wystarcza do tego, by macierz odwrotna miała wyrazy całkowite.
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łowicz
- Podziękował: 5 razy
Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
No najciekawsze jest dla mnie dlaczego wychodzimy od nierówności det A * det A ^-1 = 1 ???
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
Ponieważ to jest nasz pomysł na rozwiązanie zadania. Matematyka to nie tylko podstawianie do wzorów, to także, a raczej przede wszystkim twórcze myślenie.
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łowicz
- Podziękował: 5 razy
Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
Wyznacznik z iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników macierzy.
Pozdrawiam Q,
Pozdrawiam Q,
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
A, już rozumiem, problemem było nie to dlaczego korzystamy z tej równości, tylko to dlaczego ona jest prawdziwa. Cóż, myślałem, że takich rzeczy jeszcze uczą na studiach .
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łowicz
- Podziękował: 5 razy
Macierz odwrotna o elementach całkowitych...
Liczę że to nie uszczypliwość tylko "oczko". W każdym razie dzięki, posuwam sie do przodu. Będę tu zaglądał.