Macierz odwrotna o elementach całkowitych...

[art4ursek]

Zadanie brzmi:

Jaki warunek musi spełniać macierz A o elementach całkowitych, aby macierz do niej odwrotna posiadała elementy całkowite?

Dzięki.

[Qń]

Musi być: \(\displaystyle{ | \det A | = 1}\).

Wskazówka do udowodnienia konieczności warunku: \(\displaystyle{ \det A^{-1} = \frac{1}{\det A}}\)

Wskazówka do udowodnienia wystarczającości warunku: \(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{A_{ij}^T}{\det A}}\)

Q.

[art4ursek]

Hej, dzięki za pomoc ale jak do tego doszedłeś?

[Qń]

Właściwie wszystko jest już napisane (albo co najmniej zasugerowane ), ale powtórzę: wychodzimy od równości \(\displaystyle{ \det A \det A^{-1} =1}\) i wnioskujemy z niej, że jeśli obie macierze mają mieć wyrazy całkowite, czyli także wyznaczniki całkowite, to te wyznaczniki muszą być równe oba jeden albo oba minus jeden. Stąd mamy konieczność warunku \(\displaystyle{ | \det A | =1}\). Natomiast korzystając ze wzoru na macierz odwrotną (tego przy użyciu dopełnień algebraicznych), łatwo pokazać, że ten warunek także wystarcza do tego, by macierz odwrotna miała wyrazy całkowite.

Q.

[art4ursek]

No najciekawsze jest dla mnie dlaczego wychodzimy od nierówności det A * det A ^-1 = 1 ???

[Qń]

Ponieważ to jest nasz pomysł na rozwiązanie zadania. Matematyka to nie tylko podstawianie do wzorów, to także, a raczej przede wszystkim twórcze myślenie.

Q.

[art4ursek]

Wyznacznik z iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników macierzy.
Pozdrawiam Q,

[Qń]

A, już rozumiem, problemem było nie to dlaczego korzystamy z tej równości, tylko to dlaczego ona jest prawdziwa. Cóż, myślałem, że takich rzeczy jeszcze uczą na studiach .

Q.

[art4ursek]

Liczę że to nie uszczypliwość tylko "oczko". W każdym razie dzięki, posuwam sie do przodu. Będę tu zaglądał.