Równanie płaszczyzny stycznej
-
kasiunia_bb
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 4 gru 2007, o 17:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 5 razy
Równanie płaszczyzny stycznej
Witam. Jeżeli zamieściłam temat w złym dziale to przepraszam i prosze o przeniesienie. Mamy funkcje\(\displaystyle{ \sqrt{ 9-x^{2}-y^{2} }}\) , wziąść punkt ( \(\displaystyle{ x_{0} ,y_{0})=( \sqrt{2} ,- \sqrt{3}}\) ) i napisać równanie płaszczyzny stycznej do wartości funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} ,y_{0}}\). Prosze o pomoc i jasne rozwiazanie. Z gory dziekuje
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie płaszczyzny stycznej
Przede wszystkim: płaszczyzna może być styczna do powierzchni w punkcie, a nie do wartości funkcji w punkcie. Tu chodzi nam o punkt \(\displaystyle{ K(\sqrt{2},-\sqrt{3},2)}\). Ogólne równanie płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt to:
\(\displaystyle{ A(x-\sqrt{2})+B(y+\sqrt{3})+C(z-2)=0}\)
Z uwagi na własność, że płaszczyzna \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) jest prostopadła do wektora \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) oraz na to, że nasza płaszczyzna musi być prostopadła do promienia \(\displaystyle{ OK}\), a wektor \(\displaystyle{ \vec{OK}}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ [\sqrt{2},-\sqrt{3},2]}\), nasza płaszczyzna ma równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(x-\sqrt{2})-\sqrt{3}(y+\sqrt{3})+2(z-2)=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{2}x-\sqrt{3}y+2z - 9=0}\)
Nietrudno to zadanie uogólnić: płaszczyzna styczna do powierzchni \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=r^2}\) w punkcie \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) ma równanie \(\displaystyle{ ax+bx+cz - r^2=0}\) (rozumowanie analogiczne).
Q.
\(\displaystyle{ A(x-\sqrt{2})+B(y+\sqrt{3})+C(z-2)=0}\)
Z uwagi na własność, że płaszczyzna \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) jest prostopadła do wektora \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) oraz na to, że nasza płaszczyzna musi być prostopadła do promienia \(\displaystyle{ OK}\), a wektor \(\displaystyle{ \vec{OK}}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ [\sqrt{2},-\sqrt{3},2]}\), nasza płaszczyzna ma równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(x-\sqrt{2})-\sqrt{3}(y+\sqrt{3})+2(z-2)=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{2}x-\sqrt{3}y+2z - 9=0}\)
Nietrudno to zadanie uogólnić: płaszczyzna styczna do powierzchni \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=r^2}\) w punkcie \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) ma równanie \(\displaystyle{ ax+bx+cz - r^2=0}\) (rozumowanie analogiczne).
Q.