Wymiar macierzy

[eloziom]

Mamy macierze:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]*A=A*\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)

które tworzą podprzestrzeń jaka jaki jest ich wymiar? Jak się to wyznacza?

[Qń]

Domyślam się, że chodzi o zadanie: rozważmy następującą podprzestrzeń liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2 2}(\mathbb{R})}\) (macierzy rzeczywistych o wymiarach dwa na dwa):
\(\displaystyle{ V = \{ A : ft[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]\cdot A = A ft[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]\}}\)
Jaki jest wymiar tej przestrzeni?

Rozwiązanie:
Jeśli \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] V}\), to wiemy, że:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]\cdot
ft[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] =
ft[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] ft[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a+c&b+d\\c&d\end{array}\right] =
ft[\begin{array}{cc}a&a+b\\c&c+d\end{array}\right]}\)

Stąd \(\displaystyle{ c=0, a=d}\). Macierze z naszej podprzestrzeni są zatem postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\0&a\end{array}\right]=
a \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] +
b\cdot\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right]}\)
Widać więc, że jest to przestrzeń rozpięta na dwóch wektorach
(\(\displaystyle{ \cdot\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right]}\)), ma więc ona wymiar dwa.

Q.