Rząd macierzy w zależności od lambdy

[karlkar]

Znaleźć rząd macierzy A w zależności od parametru lambda. Dla tych
lambda, dla których r(A) = 2 rozwiązać układ jednorodny AX = 0, a następnie
rozwiązać układ niejednorodny AX = B.

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}\lambda&-1&0\\2&\lambda+1&-1\\\lambda&\lambda&2\lambda\end{array}\right] \\
B=\left[\begin{array}{c}2\\2\\3\end{array}\right]}\)

Według moich obliczeń układ ma rząd 3 dla lambda -1, rząd 2 dla lambdy różnej od -1.
Rozwiązaniem ukłądu jednorodnego AX=0 jest \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
a ukłądu AX=B
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4\lambda^{2}+8\lambda\\6\lambda^{2}-10\lambda\\-5\lambda^{2}+3\lambda+2\end{array}\right]}\)

Pytanie - co zrobiłem źle

[kuch2r]

a podaj tylko ile wynosi wg. Ciebie \(\displaystyle{ \det{A}}\)

[karlkar]

\(\displaystyle{ det A = \lambda(2\lambda^{2}+3\lambda+5)}\)

[Arek]

kuch2r chciał przez to pytanie zasygnalizować, że macierz ma rząd 3 wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna, a więc wtedy gdy ma niezerowy wyznacznik. Wyznacznik, który policzyłeś sugeruje, że tylko dla \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) mamy macierz osobliwą (zakładam, że mowa o macierzach rzeczywistych).

Poza tym, powinieneś się zorientować w pomyłce w momencie, gdy rozwiązanie układu jednorodnego okazało się być zerowymiarowe... Przy macierzy rzędu 2 powinniśmy mieć jakieś niezerowe jądro, prawda (a dokładnie: wiadomo, że \(\displaystyle{ dim(im \phi) + dim(ker \phi) = 3}\), zaś \(\displaystyle{ dim(im \phi) = r(A)}\))?

[karlkar]

ehh:/ a moglibyście w takim wypadku podać roziwązanie tego zadania?

[Arek]

Wyznacznik jest zerowy tylko gdy \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) (o ile macierz jest nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)). W pozostałych przypadkach mamy r(A) = 3. Rozważamy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\)

Na czym polega problem z jego rozwiązaniem? Przecież gołym okiem widać, że to podprzestrzeń rozpięta przez wektor \(\displaystyle{ (1, 0, 2)^{T}}\) To już teraz chyba wiesz, jak wygląda rozwiązanie niejednorodne, prawda?