Czy ktoś może mi powiedzieć, jak napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ 6x - 9y + 4z +3 =0}\) ?
pozdrawiam
Prosta i punkt
- N4RQ5
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 15 lis 2006, o 16:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki/Wawa
- Pomógł: 104 razy
Prosta i punkt
Potrzebujemy znaleźć najpierw wektory rozpinające naszą płaszczyznę. W tym celu bierzemy równoległą do niej przechodzącą przez (0,0,0)
\(\displaystyle{ 6x - 9y + 4z =0}\)
Kładąc najpierw y=0 a potem z=0 dostajemy dwa wektory
\(\displaystyle{ v_1=(2,0,-3),\\ v_2=(3,2,0)}\)
Liniowo niezależne rozpinające naszą płaszczyznę. Szukamy więc teraz prostopadłego do nich wektora kierunkowego naszej prostej. \(\displaystyle{ v_3=(x_0,y_0,z_0)}\) Na przykład biorąc jego iloczyn skalarny z naszymi wektorami \(\displaystyle{ v_1, v_2}\)
\(\displaystyle{ =2x_0-3z_0=0\\
=3x_0+2y_0=0}\)
Co gdy x=6 (biorę tak dużo by nie mieć ułamków we współrzędnych) daje wektor
\(\displaystyle{ v_3=(6,-9,4)}\)
Który jest wetorem kierunkowym naszej prostej. Teraz mając nasz punkt P wiemy że nasza prosta ma równanie:
\(\displaystyle{ t(6,-9,4)+P}\)
Tak taka metoda krok po kroku.
Z drugiej strony mając równanie płaszczyzny:
\(\displaystyle{ ax + by + cz =0}\)
Można spostrzec że wektor (a,b,c) będzie do niej prostopadły gdyż każdy wektor w tej płaszczyźnie spełnia powyższe równanie które jednocześnie jest równaniem na prostopadłość z (a,b,c). Tak więć nasz wektor kierunkowy prostej możemy otrzymać od ręki bez żadnego liczenia.
\(\displaystyle{ 6x - 9y + 4z =0}\)
Kładąc najpierw y=0 a potem z=0 dostajemy dwa wektory
\(\displaystyle{ v_1=(2,0,-3),\\ v_2=(3,2,0)}\)
Liniowo niezależne rozpinające naszą płaszczyznę. Szukamy więc teraz prostopadłego do nich wektora kierunkowego naszej prostej. \(\displaystyle{ v_3=(x_0,y_0,z_0)}\) Na przykład biorąc jego iloczyn skalarny z naszymi wektorami \(\displaystyle{ v_1, v_2}\)
\(\displaystyle{ =2x_0-3z_0=0\\
=3x_0+2y_0=0}\)
Co gdy x=6 (biorę tak dużo by nie mieć ułamków we współrzędnych) daje wektor
\(\displaystyle{ v_3=(6,-9,4)}\)
Który jest wetorem kierunkowym naszej prostej. Teraz mając nasz punkt P wiemy że nasza prosta ma równanie:
\(\displaystyle{ t(6,-9,4)+P}\)
Tak taka metoda krok po kroku.
Z drugiej strony mając równanie płaszczyzny:
\(\displaystyle{ ax + by + cz =0}\)
Można spostrzec że wektor (a,b,c) będzie do niej prostopadły gdyż każdy wektor w tej płaszczyźnie spełnia powyższe równanie które jednocześnie jest równaniem na prostopadłość z (a,b,c). Tak więć nasz wektor kierunkowy prostej możemy otrzymać od ręki bez żadnego liczenia.
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
Prosta i punkt
Chciał mieć dwa wektory liniowo niezależne na tej płaszczyźnie... No to wystarczy, aby jeden wektor miał na jednej współrzędnej 0, a drugi na innej współrzędnej 0. W ten sposób szybko wyliczył dwa wektory liniowo niezależne... Możliwych wektorów jest całe mnóstwo