Izomertia

[Crauz]

witam wszystkich!
Oto zadanie.

Dane są dwa przystające trójkąty które trzeba przekształcić pierwszy w drugi a pomocą izomerti. Zadanie możnaby zapisać: udowodnij, że każdą izometrię można zapisać jako symetrię osiową lub złożenie dwóch symetrii osiowych lub złożenie trzech symetrii osiowych. Co jest prawdą, bo symetrię osiową zapisujemy jako symetrię osiową, symetrię środkową jako dwie symetrie osiowe (o osiach prostopadłych), obrót jako dwie symetrie osiowe, a symetrię z poślizgiem jako trzy symetrie osiowe

Znam twierdzenie ale nie wiem jak narysować te trzy przypadki.
Pomożecie??

[klaustrofob]

niech izometria przekształca A w A', B w B' i C w C'. konstruujemy odpowiednie symetrie: najpierw przekształcasz A na A' przez symetrię względem symetralnej odcinka AA'. albo B przeszedł na B', albo nie. jeżeli nie, to przeszedł na jakieś B'' i trzeba znaleźć symetrię przekształcająca B'' na B' w taki sposób, by A' był nie ruszony. bierzemy symetrię względem symetralnej odcinka B''B' - przeprowadza ona B'' na B. trzeba wykazać, że ta symetria nie rusza A'. ale |AB|=|A'B''| (z pierwszej symetrii) =|A'B'| (bo tak działa izometria, którą rekonstruujemy). oznacza to, że A' leży w równej odległości od B' i B'', czyli leży na symetralnej odcinka B''B' i symetria, którą stosujemy go nie rusza.

co się działo z C? albo po tych konstrukcjach C przeszedł na C', albo przeszedł najpierw na jakieś C'', a potem na C'''. należy przeprowadzić C''' na C' nie ruszając już ustawionych A' i B''. okazuje się, że znów wystarcza zwykła symetria, teraz względem symetralnej odcinka C'C'''. przeprowadza ona C''' na C', a należy wykazać, że nie rusza A' i B''. ale |A'C'|=|A'C''| (po pierwszej symetrii) =|A'C'''| (po drugiej symetrii), więc A' leży na symetralnej C'C'''. analogicznie, |B'C'|=|B''C''| (po pierwszej symetrii) =|B'C'''| (po drugiej, która przeprowadziła B'' na B'). zatem B' też leży na symetralnej C'C''' i odpowiednia symetria go nie rusza.

tak więc w najgorszym przypadku wystarczą trzy symetrie, by tr. ABC przekształcić w A'B'C'.

[Crauz]

Mój nauczyciel bardzo lubi komuś coś utrudniać ...dzięki za odp. bardzo się przydała, ale teraz dal mi twierdzenie

,,Jeżeli Izometria posiada dwa punkty niezmiennicze to prosta na tych punktach też jest niezmiennicza. "

W jaki sposób można to udowodnić..?

Że np. p(A)=A

[klaustrofob]

tu korzysta się z własności odległości, a dokładniej z nierówności trójkąta i informacji, kiedy zachodzi w niej równość. niech punktami stałymi izometrii będą A i B, tzn. p(A) = A i p(B)=B. pokażę dla przykładu, że jeżeli C leży po tej samej stronie A co B, lecz nie pomiędzy A i B, to p(C) = C. punkt C jest wyznaczony jednoznacznie przez warunek: d(A,C)=d(A,B)+d(B,C). jeżeli p jest izometrią taką, jak wyżej, to d(p(A),p(C)=d(p(A),p(B))+d(p(B),p(C)). z tego, że p(A)=A i p(B)=B mamy
d(A,p(C)=d(A,B)+d(B,p(C)). ponieważ p(C) spełnia ten sam warunek co C, to musi być p(C)=C. podobnie działa się w pozostałych przypadkach.

[Crauz]

Próbowałem sobie to naszkicować...i nie za bardzo to wychodzi..ale to jest dosyć mocno podobne do składania funkcji..ten zapis..(albo mi się myli )

Potrafił byś przeprowadzić taki dowód na rysunku...?

[klaustrofob]

Kod: Zaznacz cały

------A-------B--------C-----
----p(A)----p(B)-----p(C)-----

ponieważ p(A) = A i p(B)=B, z własności izometrii wynika, że p(C)=C.

[Crauz]

Dzięki wielkie kolego za te posty, gdyby nie to że już kliknąłem ,,Pomógł" kliknął bym jeszcze raz