Witam , prosze o pomoc.
Mamy macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right]}\)
polecenie jest aby ja zdiagonalizowac
Wyliczylem juz wartosci wlasne \(\displaystyle{ \lambda _{1} =1}\), \(\displaystyle{ \lambda _{2} =2}\), \(\displaystyle{ \lambda _{3} =3}\), i dalej nie moge sobie poradzic z obliczeniem wektorow wlasnych,
prosze o ich wyliczenie krok po kroku a nie o sama odpowiedz.
Prosze tez powiedziec co to znaczy ze wektory sa liniowo niezalezne...myslalem ze to rozumiem ale na konkretnych przykladach gubie sie.
z gory dzieki za pomoc
zdiagonalizowac macierz
-
Masriah
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 9 lip 2008, o 00:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Pomógł: 2 razy
zdiagonalizowac macierz
Nalezy skorzystac z definicji takowego wektora.
\(\displaystyle{ Ax = \lambda x}\)
Skoro juz mamy wartosci \(\displaystyle{ \lambda}\) to wystarczy zrobic male czary mary:
\(\displaystyle{ Ax = \lambda x \\
Ax - \lambda x = 0\\
(A - I \lambda)x = 0}\)
Zabierajmy sie do liczenia zatem
\(\displaystyle{ (\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right] - ft[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]) ft[\begin{array}{c} u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right] = 0}\)
Co daje nam w uproszczeniu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&1&2\\0&0&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right] = 0}\)
Dalej pozostaje nam obliczyc rownanie. Wiec:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right] = 0}\)
Rozwiazaniem sa wszystkie wektory na osi Ox (dla wartosci 1).
Jesli chodzi o diagonalizacje, to wystarczy zbudowac nastepna macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 &0& \ldots & 0\\ 0& \lambda_2 & \ldots &0 \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots & \\ 0&0& \ldots & \lambda_{n}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_1} = a \vec{u_2} + b \vec{u_3} + c \vec{u_3} +...}\)
W praktyce oznacza to, ze wektory liniowo niezalezne moga okreslic kazdy punkt w danej przestrzeni (mam tu na mysli przestrzen wektorowa).
Dane sa wektory w przestrzeni wielomianow kwadratowych:
\(\displaystyle{ [4;0;2x^2], [8;4x;4x^2], [0;4x;0]}\)
Jak widac, ostatni wektor to kombinacja dwu poprzednich. Nie moga one w takim razie okreslic kazdego wielomianu stopnia drugiego.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ Ax = \lambda x}\)
Skoro juz mamy wartosci \(\displaystyle{ \lambda}\) to wystarczy zrobic male czary mary:
\(\displaystyle{ Ax = \lambda x \\
Ax - \lambda x = 0\\
(A - I \lambda)x = 0}\)
Zabierajmy sie do liczenia zatem
\(\displaystyle{ (\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{array}\right] - ft[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]) ft[\begin{array}{c} u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right] = 0}\)
Co daje nam w uproszczeniu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&1&2\\0&0&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right] = 0}\)
Dalej pozostaje nam obliczyc rownanie. Wiec:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right] = 0}\)
Rozwiazaniem sa wszystkie wektory na osi Ox (dla wartosci 1).
Jesli chodzi o diagonalizacje, to wystarczy zbudowac nastepna macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 &0& \ldots & 0\\ 0& \lambda_2 & \ldots &0 \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots & \\ 0&0& \ldots & \lambda_{n}\end{array}\right]}\)
Krok po kroku zrobione, nie bede wszystkiego liczyl.prosze o ich wyliczenie krok po kroku a nie o sama odpowiedz.
Prosze bardzo. Wektory sa zalezne liniowo, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja takie stale a,b,c... nalezace do liczb rzeczywistych, ze:Prosze tez powiedziec co to znaczy ze wektory sa liniowo niezalezne...myslalem ze to rozumiem ale na konkretnych przykladach gubie sie.
\(\displaystyle{ \vec{u_1} = a \vec{u_2} + b \vec{u_3} + c \vec{u_3} +...}\)
W praktyce oznacza to, ze wektory liniowo niezalezne moga okreslic kazdy punkt w danej przestrzeni (mam tu na mysli przestrzen wektorowa).
Dane sa wektory w przestrzeni wielomianow kwadratowych:
\(\displaystyle{ [4;0;2x^2], [8;4x;4x^2], [0;4x;0]}\)
Jak widac, ostatni wektor to kombinacja dwu poprzednich. Nie moga one w takim razie okreslic kazdego wielomianu stopnia drugiego.
Pozdrawiam.