Określoność formy kwadratowej i jej postać kanoniczna

[Anka123]

Mam do Was wielką prośbe o rozwiązanie poniższego zadania ,nie mogę poradzić sobie z czymś takim a minaowicie :
Zbadać określoność formy kwadratowej i sprowadzić ją to do postaci kanonicznej

f(x,y,z)=4x � +3y � -z � -12xy+4xz-8yz

prosze o szybką pomoc za co będe ogromnie wdzieczna.

[leoha]

Nie zwyklem rozwiazywac zadan ludziom ktorzy nie wykazuja chocby troche wlasnej inwencji ... dam ci przyklad jak to siepowinno robić i wtedy i ztym przykladem sobie poradzisz:
(podam wersje formalna ... ale da sie te prosciej ... pomysl jak)

\(\displaystyle{ x^2+4xy-8xz-2y^2-4yz+z^2+10x+8y+5z-3=0}\)
Oznaczmy przez
\(\displaystyle{ g(x,y,z)=x^2+4xy-8xz-2y^2-4yz+z^2}\)
forme kwadratowa zwiazana z powyzszym rownaniem. Macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}1&2&-4\\2&-2&-2\\-4&-2&1\end{array}\right]}\)
jest macierza formy g. Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma postac
\(\displaystyle{ \Delta(\lambda)=\lambda^3-27\lambda-54=(\lambda-6)(\lambda+3)^2}\)
Ortogonalne wektory własne odpowiadajace wartosciom wlasnym sa nastepujace
\(\displaystyle{ v_1=(2,1,-6)\ v_2=(1,2,2)\ v_3=(2,-2,1)}\)
wiec baze ortogonalna stanowia wektory
\(\displaystyle{ \vec{i'}=({2\over3},{1\over3},-{2\over3})\ \vec{j'}=({1\over3},{2\over3},{2\over3})\ \vec{k'}=({2\over3},-{2\over3},{1\over3})}\)
W ukladzie tym rownanie ma postac:
\(\displaystyle{ 6x'^2-3y'^2-3z'2+b'_1x'+b'_2y'+b'_3z'-3=0}\)
Macierz przejscia od bazy (i, j, k) do bazy (i', j', k') jest nastepujaca:
\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right]}\)
Jest to macierz ortogonalna wiec P^{-1}=P^T, a stad:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}b'_1\\b'_2\\b'_3\end{array}\right]=P^T*\left[\begin{array}{c}10\\8\\5\end{array}\right] = [6, 12, 3]^T}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 6x'^2-3y'2-3z'^2+6x'+12y'+3z'-3=0}\)
uzupelniajac do kwadratu mamy:
\(\displaystyle{ 6(x'+1)^2-3(y'-2)^2-3(z'-1)^2}\)
Stosujac przesuniecie ukladu otrzymujemy nowy uklad w ktorym rownanie ma postac:
\(\displaystyle{ 6x''^2-3y''^2-3z''^2+6=0}\)
Postac kanoniczna jest nastepujaca
\(\displaystyle{ -{x''^2\over1}+{y''^2\over2}+{z''^2\over2}=1}\)

[sopi]

Ortogonalne wektory własne odpowiadajace wartosciom wlasnym sa nastepujace
\(\displaystyle{ v_1=(2,1,-6)\ v_2=(1,2,2)\ v_3=(2,-2,1)}\)
wiec baze ortogonalna stanowia wektory
\(\displaystyle{ \vec{i'}=({2\over3},{1\over3},-{2\over3})\ \vec{j'}=({1\over3},{2\over3},{2\over3})\ \vec{k'}=({2\over3},-{2\over3},{1\over3})}\)

Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć w jaki sposób powstała ta baza ortogonalna z tych wektorów własnych macierzy ? Ortogonalizuje te wektory metodą Grama-Schmidta , ale calkowicie inaczej mi wychodzi ;/-- 16 czerwca 2009, 07:21 --

[paulina10000]

A które z tych obliczeń pokazuje określoność?