przekształcenie liniowe

[sim.]

Przekształcenie liniowe zadane jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_3+x_4, 2x_1+x_2+x_3, -2x_1+x_2+x_4)}\)
Znaleźć postać przekształcenia liniowego g spełniającego równanie
\(\displaystyle{ g(f(x_1,x_2,x_3,x_4))=(x_1+x_2, x_2-2x_4, x_1+x_4)}\)


mam tylko jedno pytanie : O TO CHODZI? Może jest ktoś tak miły i mądry i wytłumaczy o co w tym chodzi..

[JankoS]

Przekształcenie liniowe zadane jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_3+x_4, 2x_1+x_2+x_3, -2x_1+x_2+x_4)}\)
Znaleźć postać przekształcenia liniowego g spełniającego równanie
\(\displaystyle{ g(f(x_1,x_2,x_3,x_4))=(x_1+x_2, x_2-2x_4, x_1+x_4)}\)


mam tylko jedno pytanie : O TO CHODZI? Może jest ktoś tak miły i mądry i wytłumaczy o co w tym chodzi..

Widzę to tak:
Mnożenie macierzy jest łączne.
Niech \(\displaystyle{ F _{3x4}, G _{3x3}}\) oznaczają macierze tych przekształceń.
\(\displaystyle{ G F ft[\begin{array}{c}x _{1} \\x _{2} \\x _{3} \\x _{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right] ft[\begin{array}{c}x_1+x_3+x_4\\2x_1+x_2+x_3\\ -2x_1+x_2+x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1+x_2\\x_2-2x_4\\x_1+x_4\end{array}\right]}\)
Po pomnożeniu i porównaniu wektorów, dostajemy układ trzech równań, z których wyznaczamy elementy macierzy G, a tym samym przekształcenie g..