Znalezienie macierzy przekształcenia

[Arizona88]

Mam problem za poniższym zadaniem. Byłbym bardzo wdzięczny za wszelką pomoc.

Przekształcenie \(\displaystyle{ f: R^{3} R^{3}}\) ma w bazie kanonicznej macierz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\2&0&1\\0&3&0\end{array}\right]}\).

Znajdź macierz tego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ v_{1} = [1,0,0]}\), \(\displaystyle{ v_{2} = [1,1,0]}\), \(\displaystyle{ v_{3} = [1,1,1]}\).

[natkoza]

\(\displaystyle{ f(\varepsilon _1)=f(\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right])=\left[\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right]=-2\cdot ft[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]+2\cdot ft[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]+0\cdot ft[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ f(\varepsilon _2)=f(\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right])=\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]=1\cdot ft[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]+(-3)\cdot ft[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]+3\cdot ft[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ f(\varepsilon _3)=f(\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right])=\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=0\cdot ft[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]+1\cdot ft[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]+0\cdot ft[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]}\)
oczywiście mogłam się pomylić...
zatem szukaną macierza jest \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&1&0\\2&-3&1\\0&3&0\end{array}\right]}\)

[Arizona88]

Dziękuję za odpowiedź. Mogłabyś jeszcze wytłumaczyć jak to zrobiłaś i co się z czego bierze?

[natkoza]

rozumiem, ze chodzi ci o te współczynniki przy konkretnych wektorach ?
jeżeli tak, to ja co powiem tak i wytłumaczę na jednym przykładzie.
Ja to wszystko robiłam w pamięci, bo jak to ujął mój ćwiczeniowiec w ubiegłym semestrze "bo to widać przecież"
wyjaśnię pierwszy wektor:
musimy mieć taka równosc \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right]=a\cdot ft[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]+b\cdot ft[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]+c\cdot ft[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]}\)
i teraz musimy tak je dobrać, żeby otrzymac to co mamy, jeżeli tego od razu nie widać, to zawsze można rozwiazać układ równań , bo żeby wektory były równe, to kolejne współrzędne muszą być takie same: \(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0\\b+c=2\\c=0\end{cases}}\)

[Arizona88]

Rozumiem... Jeszcze raz dziękuję za pomoc...